八年级数学上册知识点:平方根.docx
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1、八年级数学上册知识点:平方根八年级数学上册平方根与立方根学问点整理华东师大版 八年级数学上册平方根与立方根学问点整理华东师大版 学问点 平方根: 概括1:一般地,假如一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说,假如x=a,那么x就叫做a的平方根。如:23与-23都是529的平方根。 因为(23)=529,所以23是529的平方根。问:(1)16,49,100,1100都是正数,它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?(2)0的平方根是什么? 概括2:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 概括3:求一个数a(a0)的平方根的运算
2、,叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0,它的平方数只有一个,正数或负数的平方都是正数,0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个,这两个数互为相反数,0的平方根是0。负数没有平方根。因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 一、算术平方根的概念 正数a有两个平方根(表示为? 根,表示为a。 0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即0?0。“ ”是算术平方根的符号,a就表示a的算术平方根。a的意义有两点: a),我们把其中正的平方根
3、,叫做a的算术平方 (1)被开方数a表示非负数,即a0; (2)a也表示非负数,即a0。也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根,即a0时,a无意义。 如:=3,8是64的算术平方根,?6无意义。 9既表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根。 二、平方根与算术平方根的区分在于 定义不同; 个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个;表示方法不同:正数a的平方根表示为?a,正数a的算术平方根表示为a;取值范围不同:正数的算术平方根肯定是正数,正数的平方根是一正一负.0的平方根与算术平方根都是0.三、例题讲解: 例1、求下列各数的算术平方根: (1)
4、100; (2)49; (3)0.8164 留意:由于正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,可将它们概括成:非负数的算 术平方根是非负数,即当a0时,a0(当a0时,a无意义) 用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a(a应是非负数)、边长为 的正方形就表示a的算术平方根。 这里须要说明的是,算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号,如a0时,a表示对非负数a进行开平方运算,另一方面也是一特性质符号,即表示非负数a的正的平方根。 3、立方根 (1)立方根的定义:假如一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即假如x?a,那么x叫做a的立方根 (2)一个数
5、a的立方根,读作:“三次根号a”,其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 (3)一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。 (4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的肯定值的立方根,再取其相反数。 八年级 数学 2.2 平方根 教案 课题:2.2平方根(1)教学目标(一)教学学问点1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术
6、平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)实力训练要求1.加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平.2.激励学生进行探究和沟通,培育他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生主动参加教学活动,培育他们对数学的新奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手实力.教学重点了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点了解算术平方根的概念、性质.教学方法导学法.教具打算投影片两张:第一张:例题(记作2.2.1A);其次张:补充练习(记作2.2.1B).教学过程.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,驾驭了无理数的概念,知道有理
7、数和无理数的区分是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们就来一起探讨这个问题.讲授新课师在讲新课之前,我们先回忆一下勾股定理,请同学们回答.生勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.师下面请大家依据勾股定量,结合图形完成填空.投影片:(2.2.1A) 依据下图填空x2=_y2=_z2=_w2=_ 师请大家思索后回答.生x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.师请大家再分析一下,x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?生x,y,w是无理
8、数,z是有理数.师为什么呢?生因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,所以x,y,z不是有理数,而22=4,所以z=2.师这位同学分析得特别正确,那么大家能不能把上图中的x,y,z,w表示出来呢?请大家细致看书后回答.生x=,y=,z=,w=.师若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特殊地规定0的算术平方根是0,即=0.师下面我们依据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根:(1)900;(2)1;(3);(4)14.解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30
9、;(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1;(3)因为所以的算术平方根是,即;(4)14的算术平方根是.通过上面的例题,大家思索一下,我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的?生是通过平方来求的.师对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤实行语言叙述和符号表示相互补充的做法,目的是让大家明白算术平方根的概念,以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.例2自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面须要多长时间?解:将
10、h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4,所以t=2(秒)即铁球到达地面须要2秒.师下面大家再视察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.生甲算术平方根是整数或分数,即为有理数.生乙不对,那是不是有理数?若是则是,分数还是整数?生丙因为没有任何一个整数或分数的平方等于14,所以不是有理数,而是无理数.师大家的分析都有道理,我提示一下从符号方面考虑.生甲噢,算术平方根是正数,如,2.生乙不对,还有零呢.正数的算术平方根是正数,零的算术平方根为零.师特别正确,那负数的算术平方根是否为负数呢?若(2)2=4.则=2对吗?或者=2对吗?生甲不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a,这个
11、正数x就叫做a的算术平方根,所以算术平方根不行能是负数.师由此看来,定义中的a和x都为正数,即算术平方根是非负数,负数没有算术平方根.用式子表示为(a0)为非负数,这是算术平方根的性质.课堂练习(一)P32随堂练习1、2题.(二)补充练习.投影片:(2.2.1B)一、填空题1.若一个数的算术平方根是,则这个数是_.2.的算术平方根是_.3.正数_的平方为的算术平方根为_.4.(1.44)2的算术平方根为_.5.的算术平方根为_,=_. 二、求下列各数的算术平方根,并用符号表示出来:(1)(7.4)2;(2)(3.9)2;(3)2.25;(4)2. 答案:一、1.52.3.4.1.445.30.
12、2.二、(1)(4).课时小结本节课学习了算术平方根的概念,理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算,求一个非零数的算术平方根,以及算术平方根的性质,即算术平方根是非负数.课后作业P33习题1、3.活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时,它的边长变为原来的多少倍?2.一个正方形的面积为原来的100倍时,它的边长变为原来的多少倍?解:设原来的正方形边长为a,面积为S1,后来的正方形面积为S2.1.S1=a2,S2=na2(a)2后来的边长(a)为原来边长的倍.2.S1=a2,S2=100a2=(10a)2后来的边长10a为原来边长的10倍.板书设计一、算术平方根的定义算术平方根的
13、性质二、举例三、练习四、作业 课题:2.2平方根(2)教学目标(一)教学学问点1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区分与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.(二)实力训练要求1.加强概念形成过程的教学,让学生不仅驾驭概念,而且知晓它的理论数据.2.提倡学生进行自学,并能与同学相互沟通与合作,变学会学问为会学学问.3.培育学生的求同和求异思维,能从相像的事物中视察到PX们的共同点和不同点.(三)情感与价值观要求通过学生在学习中相互帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培育大家的团队精神,以及仔细细致的学习看法,为学生将来走上社会而做打算,使他们能在工作中保持
14、严谨的看法,正确处理好人际关系,成为各方面的佼佼者.教学重点1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区分与联系.教学难点1.平方根与算术平方根的区分与联系.2.负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算的缘由.教学方法探讨比较法.即主要靠大家探讨得出结论,同时对相像的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念,还能使学生学得更扎实.教具打算投影片两张:第一张:平方根与算术平方根的联系与区分(记作2.2.2A);其次张:补充练习(记作2.2.2B).教学过程.创设问题情境,引入新课上节课我们学习
15、了算术平方根的概念,性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a.则x叫a的算术平方根,记作x=,而且也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(2)2=4,则2叫4的什么根呢?下面我们就来探讨这个问题.讲授新课1.平方根、开平方的概念师请大家先思索两个问题.(1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9,还有其他的数,它的平方也是9吗?(2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢?生3的平方也是9.的平方是,的平方也是,即平方等于的数有两个.生平方等于9的数有两个,平方等于的数有两个,由此可知平方等于0.64的数也有两个.师依据上一节课的内容,我们知道了是
16、9的算术平方根,是的算术平方根,那么3,叫9、的什么根呢?请大家仔细看书后回答.生3,分别叫9、的平方根.师那是不是说3叫9的算术平方根,3也叫9的算术平方根,即9的算术平方根有一个是3,另一个是3呢?生不对.依据平方根的定义,一般地,假如一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个x就叫a的平方根(squareroot),也叫二次方根,3和3的平方都等于9,由定义可知3和3都是9的平方根,即9的平方根有两个3和3,9的算术平方根只有一个是3.师由平方根和算术平方根的定义,大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢?请分小组探讨后选代表回答.生平方根的定义中是有一个数x的平方等于a,则x叫a的平方根
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