线性代数线性代数线性代数 (1).pdf
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1、向量及其运算 1.1 引 言 线性代数的中心问题是求解线性方程组.例:给定一个线性方程组 它能表示为 此方程组可解 可表示为 和 的线性组合.线性代数是建立在向量的加法和数乘这两种所谓“线性运算”上的.1.2 维空间中的点 在直线上取定坐标系后,每个实数一一对应表示直线上的点.一个二元有序数组 一一对应地表示平面上的点.1.2 维空间中的点 一个三元有序数组 一一对应地表示 维空间中的点.同理,定义 维空间的点为一个 元有序数组 称 为点 的第 个坐标.1.2 维空间中的点 称两个点 与 相等,若 可以定义两个点 与 的和 若 为一个数,可以定义数乘运算:1.2 维空间中的点 一些例子:则 则
2、 则 1.2 维空间中的点 容易看到这样定义的加法和数乘运算对任意 维空间中点 满足以下 条性质:1.2.3.若令 为一点,则 4.若以 表示 则 5.6.7.8.1.3 向 量 向量指空间中具有一定长度及方向的直线段.通常记起点为 ,终点为 的向量为 .力、位移、速度、加速度等都是物理学中常出现的向量.两个向量相等 二者长度相等,方向相同.相等的向量 1.3 向 量 向量的加法(addition):两个向量 和 的和 为以向量 为邻边 的平行四边形的对角线 代表的向量(平行四边形法则).向量的加法又满足三角形法则.1.3 向 量 向量的数乘(scalar multiplication):1.
3、3 向 量 向量的加法满足结合律,即对任意向量 向量的加法满足交换律,即对任意向量 当 时,称向量 为零向量,记为 .则 可表示为 对任意向量 成立.对向量 ,记向量 为 ,则 即为 1.3 向 量 1.3 向 量 若固定向量的起点,如记之为原点,则向量由其终点唯一确 定.于是我们可以等同:1.维空间中的点;2.元有序数组;3.维空间中由原点出发的向量.我们将不加区分地使用向量的这三个身份.记 为列向量,其中 为向量 的第 个分量.1.3 向 量 向量的加法:数乘:1.4 向量空间的定义 在由称为“向量”的元素构成的非空集合 中,若定义了加法和 数乘运算,且对任意向量 及数 满足以下 条性质:
4、1.2.3.存在零向量 ,4.对任意向量 ,存在唯一相反向量 ,使得 5.6.7.8.则称 为定义在数域 上的向量空间(vector space).1.5 向量的线性组合 定义:设 为 个 维向量,则 称 为向量 的一个线性组合.例:给定 则 是向量 的一个线性组合.1.5 向量的线性组合 问题:给定一组向量 ,则 的全部线性组合是怎样的集合?例:向量 的全部线性组合 为以 为方 向的一条直线.1.5 向量的线性组合 例:向量 和 的全部线性组合 为 ,其中 为任意实数.这是平面 .1.5 向量的线性组合 例:向量 和 的全部线性组合 为 ,其中 为任意实数.这是直线 1.5 向量的线性组合
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