计量经济学第2章一元线性回归模型说课讲解.ppt
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1、计量经济学第2章一元线性回归模型2 Y 0 XY Yi i=1 1+2 2X Xi i表示表示X X与与Y Y之间的线性部分,称作总体回归直线。之间的线性部分,称作总体回归直线。样本值与回归直线的偏离样本值与回归直线的偏离u ui i表示对这种线性关系的随机扰动。表示对这种线性关系的随机扰动。即即u ui i=Y=Yi i-Y-Yi i (i=1,2,i=1,2,n,n)33.3.随机误差项的假定条件随机误差项的假定条件(1)E(u(1)E(ui i)=0)=0,i=1,2,i=1,2,(2)Var(u(2)Var(ui i)=Eu)=Eui i-E(u-E(ui i)2 2=E(u=E(ui
2、 i2 2)=)=u u2 2,i=1,2,i=1,2,(3)Cov(u(3)Cov(ui iu uj j)=)=EuEui i-E(u-E(ui i)E)Ej j-E(u-E(uj j)=E(u =E(ui iu uj j)=)=0 0,ijij(4)Cov(u(4)Cov(ui i,X,Xi i)=Eu)=Eui i-E(u-E(ui i)EX)EXi i-E(X-E(Xi i)=E(u =E(ui iX Xi i)=0)=0,i=1,2,i=1,2,(5)u(5)ui i服从正态分布服从正态分布,即即u ui iN(0,N(0,u u2 2)前五条称为线性回归分析的前五条称为线性回归分析
3、的经典假设条件,经典假设条件,是古典线性回是古典线性回归模型的基本假定。归模型的基本假定。42.2 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计1.1.普通最小二乘法普通最小二乘法(OLSOLS)总体回归模型:总体回归模型:总体回归方程:总体回归方程:样本回归模型:样本回归模型:样本回归方程:样本回归方程:5下面用最小二乘法求总体回归系数下面用最小二乘法求总体回归系数1 1、2 2的估计的估计值值 。即令。即令根据微积分多元函数极值原理,要使上式达到最根据微积分多元函数极值原理,要使上式达到最小,对小,对 的一阶偏导数都等于零,即的一阶偏导数都等于零,即6正规方程组正规方程组7求解得到
4、:求解得到:82.2.几个常用的结果几个常用的结果(1)(2)(3)(4)93.3.截距为零的一元线性回归模型的参数估计截距为零的一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的一般形式为一元线性回归模型的一般形式为当当u ui i满足假定条件时,满足假定条件时,的最小二乘估计量为的最小二乘估计量为102.3 最小二乘估计量的统计性质最小二乘估计量的统计性质1.1.线性性线性性最小二乘估计量最小二乘估计量 均是均是Y Yi i的线性函数,即可以表示为的线性函数,即可以表示为Y Yi i的线性组合。的线性组合。证明:证明:其中其中11前面的式子可记为前面的式子可记为 表明是表明是Y Yi i的线性组
5、合,其中的线性组合,其中b bi i不全为零,线性性得证。不全为零,线性性得证。的线性性可利用的线性性可利用 的线性性得到。的线性性得到。可记为可记为 这表明这表明 同样是同样是Y Yi i的线性组合,其中的线性组合,其中W Wi i也不全为零,线性也不全为零,线性性也得到证明。性也得到证明。122.2.无偏性无偏性无偏性指无偏性指 的数学期望分别等于总体回归系数的值的数学期望分别等于总体回归系数的值1 1和和2 2,即,即证明:证明:即即 是参数真实值是参数真实值2 2的无偏估计得到了证明。的无偏估计得到了证明。推导推导13同样地,证明同样地,证明 的无偏性。的无偏性。即即 是是1 1的无偏
6、估计。的无偏估计。143.3.最小方差性最小方差性最小方差性,即在最小方差性,即在1 1和和2 2所有可能的线性无偏估所有可能的线性无偏估计中,最小二乘估计计中,最小二乘估计 的方差最小。的方差最小。证明思路:假设证明思路:假设 是是1 1和和2 2的任意其他线性的任意其他线性无偏估计,设法证明满足无偏估计,设法证明满足Var()Var()Var()Var()和和Var()Var()Var()Var()。这两个不等式的证明相似,。这两个不等式的证明相似,因此只证明其中第二个不等式。因此只证明其中第二个不等式。15因为因为 是是2 2的线性无偏估计,因此根据线性性,的线性无偏估计,因此根据线性性
7、,可以写成下列形式:可以写成下列形式:其中其中i i是线性组合的系数,为确定性的数值。则有是线性组合的系数,为确定性的数值。则有由于由于 是是2 2的无偏估计,因此不管的无偏估计,因此不管X Xi i的取值如何,的取值如何,上式都必须等于上式都必须等于2 2。这就要求。这就要求 必须成立。必须成立。16因此因此再计算方差再计算方差Var()Var(),得,得为了比较为了比较Var()Var()和和Var()Var()的大小,可以对上述表达式做一的大小,可以对上述表达式做一些处理:些处理:17前面式子中的第三项前面式子中的第三项因此因此这样这样 的最小方差性就得到了证明。的最小方差性就得到了证明
8、。18由于最小二乘估计量由于最小二乘估计量 具有线性性、无偏性、具有线性性、无偏性、最小方差性,因此被称为最佳线性无偏估计量最小方差性,因此被称为最佳线性无偏估计量(The Best Linear Unbiased EstimatorThe Best Linear Unbiased Estimator),简),简称称BLUEBLUE性质。性质。192.4用样本可决系数检验回归方程的拟合优度用样本可决系数检验回归方程的拟合优度本节要检验的是样本回归线对样本观测值的拟合优本节要检验的是样本回归线对样本观测值的拟合优度。样本观测值距回归线越近,拟合优度越好,度。样本观测值距回归线越近,拟合优度越好,
9、X X对对Y Y的解释能力越强。的解释能力越强。判断回归结果好坏的基本标准,是回归直线对样本数据的拟判断回归结果好坏的基本标准,是回归直线对样本数据的拟合程度,称为合程度,称为“拟合优度拟合优度”。回归直线的拟合优度一方面取。回归直线的拟合优度一方面取决于回归直线的选择,这是由参数估计方法决定的,另一方决于回归直线的选择,这是由参数估计方法决定的,另一方面取决于样本数据的分布。当参数估计方法固定时,主要取面取决于样本数据的分布。当参数估计方法固定时,主要取决于样本数据的分布。决于样本数据的分布。样本数据的分布在本质上是由变量关系决定的。因此回归拟样本数据的分布在本质上是由变量关系决定的。因此回
10、归拟合度也是检验模型变量关系真实性,判断模型假设是否成立合度也是检验模型变量关系真实性,判断模型假设是否成立的重要方法。的重要方法。201.1.总离差平方和的分解总离差平方和的分解YYiOXXi(Xi,Yi)21仅仅考察个别仅仅考察个别Y Yi i由回归直线或解释变量决定的程度,或者对由回归直线或解释变量决定的程度,或者对Y Yi i逐点进行离差分解,仍然难以判断总体拟合情况。为此进逐点进行离差分解,仍然难以判断总体拟合情况。为此进一步考察所有一步考察所有Y Yi i离差平方和的分解问题。所有离差平方和的分解问题。所有Y Yi i离差的平方离差的平方和记为和记为 ,称,称“总离差平方和总离差平
11、方和”。分解可得。分解可得 22 下证明最后一项等于零。下证明最后一项等于零。即即 所以所以 也可写为也可写为 即总离差平方和可分解为两部分,一部分为:即总离差平方和可分解为两部分,一部分为:称为称为“回归平方和回归平方和”,记为记为ESSESS;另一部分为:;另一部分为:称为称为“残差平方和残差平方和”,记为,记为RSSRSS。23因此有因此有 TSS=ESS+RSSTSS=ESS+RSS即即 总离差平方和总离差平方和=回归平方和回归平方和+残差平方和残差平方和前一部分前一部分ESSESS相对于后一部分相对于后一部分RSSRSS越大,说明回越大,说明回归拟合程度越好,归拟合程度越好,Y Y与
12、与X X之间的线性决定关系越之间的线性决定关系越明显。明显。242.2.样本可决系数样本可决系数将将TSS=ESS+RSSTSS=ESS+RSS两端同除以两端同除以TSSTSS,得到,得到 或或式中的式中的 正是反映解释变量对被解释变量决定程正是反映解释变量对被解释变量决定程度的指标,称之为度的指标,称之为“样本可决系数样本可决系数”(determined(determined coefficient)coefficient),也叫决定系数、判定系数,通常用,也叫决定系数、判定系数,通常用R R2 2表示。表示。25这个指标的计算公式是这个指标的计算公式是或或R R2 2是样本回归线与样本观测
13、值拟合优度的度量指标,其是样本回归线与样本观测值拟合优度的度量指标,其数值在数值在0 0到到1 1之间。之间。R R2 2=0=0,解释变量,解释变量X X与与Y Y没有线性关系;没有线性关系;R R2 2=1=1,样本回归线与样本观测值重合,样本回归线与样本观测值重合,X X与与Y Y在一条直线在一条直线上;上;0R0R2 211,R R2 2越接近越接近1 1,样本回归线对样本值的拟合优度越,样本回归线对样本值的拟合优度越好,好,X X对对Y Y的解释能力越强。的解释能力越强。263.3.样本相关系数样本相关系数样本相关系数是变量样本相关系数是变量X X与与Y Y之间线性相关程度的度量指标
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- 计量 经济学 一元 线性 回归 模型 讲解
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