2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第23讲 定点问题含解析.pdf
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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 23 讲讲 定点定点问题问题一选择题(共一选择题(共 1 小题)小题)1 已知圆22:4C xy,点P为直线290 xy上一动点,过点P向圆C引两条切线PA、PB,A、B为切点,则直线AB经过定点()A4 8(,)9 9B2 4(,)9 9C(2,0)D(9,0)二解答题(共二解答题(共 18 小题)小题)2已知圆C的圆心坐标为(3,0)C,且该圆经过点(0,4)A(1)求圆C的标准方程;(2)若点B也在圆C上,且弦AB长为 8,求直线AB的方程;(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之
2、积为 2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标3 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,点(2,2)在椭圆C上,点F是椭圆C的右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于M,N两点,则在x轴上是否存在一点P,使得x轴平分MPN?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由4已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是22,一个顶点是(0,1)B,点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点,且BPBQ(1)求椭圆C的方程;(2)试问直线PQ是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由5已知A,B分别为椭圆222:1(0)xEyaa的左,右顶点,G为E
3、的上顶点,8AG GB P为椭圆外一点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,且12ACBDkk(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线CD过定点6已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F与双曲线2213yx的一个焦点重合,D为直线2y 上的动点,过点D作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B(1)求抛物线C的方程;(2)证明直线AB过定点7已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,2),离心率为33(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,1)P分别作斜率为1k、2k的椭圆的动弦AB、CD,设M、N分别为线段AB、CD的中点,若121kk,是否存在一个定点Q,使得其在直线M
4、N上,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由8已知左焦点为(1,0)F 的椭圆过点2 3(1,)3E过点(1,1)P分别作斜率为1k,2k的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求1k;(3)若121kk,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标9已知椭圆2222:1(0)xyCabab,(,0)Fc为其左焦点,点2(aPc,0),1A,2A分别为椭圆的左、右顶点,且12|4A A,112 3|3PAAF(1)求椭圆C的方程;(2)过点1A作两条射线分别与椭圆交于M、N两点(均异于点1)A,且11AMA N,证明:直线M
5、N恒过x轴上的一个定点10已知椭圆22:132xyE的左右顶点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的任意一点()求直线PA与PB的斜率之积;()过点3(,0)5Q 作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M,N两点证明:以MN为直径的圆恒过点A11已知点(1,0)A,(1,1)B,抛物线2:4C yx,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q,O为坐标原点(1)求OM OP ;(2)证明:直线PQ恒过定点12已知点(1,0)A,(1,1)B和抛物线2:4C yx,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图(1)证明:OM OP 为
6、定值;(2)若POM的面积为52,求向量OM 与OP 的夹角;(3)证明直线PQ恒过一个定点13已知抛物线2:2(0)ypx p的焦点为F,P是抛物线上一点,且在第一象限,满足(2FP ,2 3)(1)求抛物线的方程;(2)已知经过点(3,2)A的直线交抛物线于M,N两点,经过定点(3,6)B和M的直线与抛物线交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由14已知直线2yx与抛物线22ypx相交于A,B两点,满足OAOB定点(4,2)C,(4,0)D,M是抛物线上一动点,设直线CM,DM与抛物线的另一个交点分别是E,F(1)求抛物线的方程;(2)求证:当M点在抛物线
7、上变动时(只要点E、F存在且不重合),直线EF恒过一个定点;并求出这个定点的坐标15已知直线:2l yx与抛物线21:4C yx交于(AA x,)Ay、(0,0)O两点,过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点(BB x,)By如图所示(1)求抛物线C的焦点坐标;(2)求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标;(3)过抛物线214yx的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由16过抛物线2:2(0)E ypx p上一点(1,2)M作直线交抛物线E于另一点N()若直线MN的斜率为 1,求线段|MN
8、的长;()不过点M的动直线l交抛物线E于A,B两点,且以AB为直径的圆经过点M,问动直线l是否恒过定点如果有求定点坐标,如果没有请说明理由17 如图所示,已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12,E的右焦点到直线1yx的距离为2(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右顶点为A,不经过点A的直线l与椭圆E交于M,N两点,且以MN为直径的圆过A,求证:直线l恒过定点,并求出此定点坐标18已知椭圆222:3(0)E xym m的左顶点是A,左焦点为F,上顶点为B(1)当AFB的面积为322时,求m的值;(2)若直线l交椭圆E于M,N两点(不同于)A,以线段MN为直径的圆过A点,试探究直
9、线l是否过定点,若存在定点,求出这个定点的坐标,若不存在定点,请说明理由19已知椭圆22:132xyE的左右顶点分别为A、B,点P为椭圆上异于A,B的任意一点()求直线PA与PB的斜率乘积的值;()设(Q t,0)(3)t,过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M,N两点,则是否存在实数t,使得以MN为直径的圆恒过点A?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由第第 23 讲讲 定点问题定点问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题(共一选择题(共 1 小题)小题)1 已知圆22:4C xy,点P为直线290 xy上一动点,过点P向圆C引两条切线PA、PB,A、B为切点,则直线AB经过定
10、点()A4 8(,)9 9B2 4(,)9 9C(2,0)D(9,0)【解答】解:因为P是直线290 xy的任一点,所以设(92,)Pm m,因为圆224xy的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,所以OAPA,OBPB,则点A、B在以OP为直径的圆上,即AB是圆O和圆C的公共弦,则圆心C的坐标是92(2m,)2m,且半径的平方是222(92)4mmr,所以圆C的方程是222292(92)()()224mmmmxy,又224xy,得,(29)40mxmy,即公共弦AB所在的直线方程是:(29)40mxmy,即(2)(94)0mxyx,由20940 xyx得49x,89y,所以直线AB恒过定点4
11、(9,8)9,故选:A二解答题(共二解答题(共 18 小题)小题)2已知圆C的圆心坐标为(3,0)C,且该圆经过点(0,4)A(1)求圆C的标准方程;(2)若点B也在圆C上,且弦AB长为 8,求直线AB的方程;(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为 2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标【解答】(1)解:设圆的标准为222(3)xyr,把(0,4)A代入得5r,故圆的标准方程为22(3)25xy(2)解:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为0 x,此时弦AB长为 8,符合题意;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为4ykx,联立方程224(3)25ykxx
12、y,则22(1)(68)0kxk x,所以268(1kBk,22464)1kkk,根据弦AB长为 8,可得2222268464|()(4)811kkkABkk,解得724k ,所以直线AB的方程为724960 xy,综上所述,直线AB的方程为0 x 或724960 xy;(3)证明:当直线l斜率不存在时,设(,)M a b,(,)N ab,直线AM,AN的斜率之积为 2,(0,4)A,442bbaa,即22162ba,点(,)M a b在圆上,22(3)25ab,联立2222162(3)25baab,无解,舍去,当直线l斜率存在时,设直线:l ykxt,1(M x,1)kxt,2(N x,2)
13、kxt,2212121212442(2)(4)()(4)0AMANkxtkxtkkkx xk txxtxx 联立方程22222(1)(26)160(3)25ykxtkxktxtxy,122(26)1ktxxk,2122161tx xk,代入,得2222(2)(16)(4)(26)(4)(1)0ktktkkttk,化简得26tk,直线l的方程为:(2)6tyxt,所以过定点(6,12)3 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,点(2,2)在椭圆C上,点F是椭圆C的右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于M,N两点,则在x轴上是否存在一点P,使得x轴平分MPN
14、?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)由题意得222222,2421,caababc解得:28a,24b 所以椭圆C的方程为22184xy(2)由题意可知直线l的斜率不为 0,(2,0)F若直线l斜率存在,设直线l的方程为(2)(0)yk xk,1(M x,1)y,2(N x,2)y,联立221,84(2),xyyk x得2222(12)8880kxk xk由题意可知0恒成立,所以2122812kxxk,21228812kx xk假设在x轴上存在一点(,0)P t,使得x轴平分MPN,则0PMPNkk,所以12120yyxtxt所以1221()()0y xtyxt,所
15、以1221(2)()(2)()0k xxtk xxt,所以12122(2)()40 x xtxxt,所以2222222(88)8(2)4(12)0121212kkttkkkk,所以2164012tk,所以4t 若直线l斜率不存在时,则M,N两点关于x轴对称,当点P坐标为(4,0)时,x轴平分MPN综上所述,在x轴上存在一点(4,0)P,使得x轴平分MPN4已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是22,一个顶点是(0,1)B,点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点,且BPBQ(1)求椭圆C的方程;(2)试问直线PQ是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由【解答】解:(1)由题
16、意得222122bcaabc,解得211abc,所以椭圆方程为2212xy(2)由BPBQ知直线BP,BQ的斜率存在且不为 0设直线BP的斜率为k,直线BP的方程为1ykx,22112ykxxy,得221()202kxkx 解得0 x 或2212kxk 当22241212kkxkk 时,221212kyk,即222412()21 12kkPkk,用1k代替k,得22242(,)22kkQkk于是直线PQ的斜率22222222121212443221FQkkkkkkkkkkk,直线PQ的方程为22221214()12321kkkyxkkk,整理得2(1)(31)0kxky,当0 x,13y 时,
17、对任意的k,2(1)(31)0kxky恒成立,所以直线PQ过定点1(0,)35已知A,B分别为椭圆222:1(0)xEyaa的左,右顶点,G为E的上顶点,8AG GB P为椭圆外一点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,且12ACBDkk(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线CD过定点【解答】解:(1)由题意知(0,1)G,(,0)Aa,(,0)B a,所以2(,1)(,1)18AG GBaaa ,解得3a,故椭圆E的标准方程为2219xy证明:(2)设直线CD的方程为xtym,1(C x,1)y,2(D x,2)y,联立2299xtymxy,消去x得222(9)290tytm
18、ym,则有212122229,99tmmyyy ytt,所以21212(9)()2myytmy y,即21212(9)()2myyy ytm,因为111133ACyykxtym,222233BDyykxtym,所以12112121121222112212223(3)(3)(9)()2(3)(3)(3)(9)()2(3)3ACBDyktymy tymty ymymyym myyky tymty ymymyym mytym,1121112221221122(3)2(3)()(3)(233)(3)2(3)()(3)(233)mmymyymmymyymyymmymyymmymyymyy,3132mm,
19、解得1m,所以直线CD的方程为1xty,故直线CD过定点(1,0)6已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F与双曲线2213yx的一个焦点重合,D为直线2y 上的动点,过点D作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B(1)求抛物线C的方程;(2)证明直线AB过定点【解答】解:(1)由题意可得双曲线2213yx的焦点为(0,2),(0,2),即有抛物线的焦点(0,2)F,则242pp,所以抛物线C的方程为:28xy;(2)证 明:设0(D x,2),设 切 线 方 程 为02()yk xx,联 立28xy得:2088160 xkxkx,由22000644(816)0220kkxkkx设两条切线的
20、斜率分别为1k,2k,则0122xkk,121kk,由知等根为4xk,故设211(4,2)Akk,222(4,2)Bkk,则220212121224424ABxkkkkkkk,所以直线AB的方程为:20112(4)4xykxk,化简得2200001011121122(22)2224444xxxxyxk xkxkkkkxk kx所以直线AB过定点(0,2)7已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,2),离心率为33(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,1)P分别作斜率为1k、2k的椭圆的动弦AB、CD,设M、N分别为线段AB、CD的中点,若121kk,是否存在一个定点Q,使得其在直线M
21、N上,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,2),离心率为33222233bcaabc,解得3a,2b,椭圆C的方程为22132xy(2)由题意得12kk,设(MM x,)My,直线AB的方程为11(1)yk x,即12yk xk,代入椭圆方程并化简,得:2221122(23)6360kxk k xk,1221323Mk kxk,221223Mkyk,同理,1221323Nk kxk,122223Nkyk,直线MN的方程为2121222112121063()23923kk kk kyxkk kk,即1212106293k
22、kyxk k,此时直线过定点2(0,)3,当120k k 时,直线MN即为y轴,此时也过点2(0,)3综上,直线MN恒过定点,且定点坐标为2(0,)38已知左焦点为(1,0)F 的椭圆过点2 3(1,)3E过点(1,1)P分别作斜率为1k,2k的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求1k;(3)若121kk,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标【解答】(1)解:由题意1c,且右焦点(1,0)F22 3aEFEF,2222bac所求椭圆方程为22132xy;(2)解:设1(A x,1)y,2(B x,2)y,则2211132
23、xy,2222132xy,可得2121121212()23()3yyxxkxxyy ;(3)证明:由题意,12kk,设(MM x,)My,直线AB的方程为11(1)yk x,即12yk xk,代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360kxk k xk1221323Mk kxk,221223Mkyk同理,1222323Nk kxk,122223Nkyk当120k k 时,直线MN的斜率12121069MNMNyyk kkxxk k直线MN的方程为2121222112121063()23923kk kk kyxkk kk即1212106293k kyxk k此时直线过定点2(0,)3当12
24、0k k 时,直线MN即为y轴,此时亦过点2(0,)3综上,直线MN恒过定点,且坐标为2(0,)39已知椭圆2222:1(0)xyCabab,(,0)Fc为其左焦点,点2(aPc,0),1A,2A分别为椭圆的左、右顶点,且12|4A A,112 3|3PAAF(1)求椭圆C的方程;(2)过点1A作两条射线分别与椭圆交于M、N两点(均异于点1)A,且11AMA N,证明:直线MN恒过x轴上的一个定点【解答】(1)解:12|4A A,2a,又112 3|3PAAF,22 3()3aaacc,整理得2 33ac,3c,则2221bac椭圆C的方程为2214xy;(2)证明:由已知直线MN与y轴不垂直
25、,假设其过定点(,0)T n,设其方程为xmyn,联立2214xmynxy,得222(4)240mymnyn设1(M x,1)y,2(N x,2)y,则12224mnyym,212244ny ym1212()2xxm yyn,2212121212()()()x xmyn mynm y ymn yyn11AMA N,111122(2,)(2,)0AM A Nxyxy 1212122()40 x xxxy y,221212(1)(2)()(2)0my ym nyyn即22222(1)(2)(2)2(2)(2)044mnnnm nnmm化简得:(2)(56)0nn,若2n ,则T与A重合,不合题意,
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