2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第9讲 破解离心率问题之顶底角公式含答案.pdf
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1、2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第9讲讲 破解离心率问题之破解离心率问题之顶底角公式顶底角公式一选择题(共一选择题(共 6 小题)小题)1如图,已知双曲线22221(0,0)xyabab上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF,且,12 6,则该双曲线离心率e的取值范围为()A 2,31B 3,23C 2,23D 3,312已知1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得1260FPF,则椭圆离心率e的取值范围是()A212e B202eC112e D1222
2、e 3设1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点,P是椭圆上一点,12F PF,90则该椭圆离心率的最小值为()A12B22C33D324已知1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,椭圆上一点M满足1260FMF,则该椭圆离心率取值范围是()A1(0,2B1,1)2C3(0,3D3,1)35椭圆22221(23)xyabab的焦点1F、2F在x轴上,点P为椭圆上一点且12F PF不大于120,则它的离心率的取值范围是()A3(0,2B53(,32C5(,1)3D53(,)326已知椭圆2222:1(0)xyCabab,点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,
3、使得120APB,则该椭圆的离心率的取值范围是()A6,1)3B3,1)2C2(0,2D3(0,4二多选题(共二多选题(共 3 小题)小题)7已知椭圆22:143xyC的左、右两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一动点,(1,1)M,则下列结论正确的有()A12PFF的周长为 6B12PFF的最大面积为3C存在点P使得120PFPF D1|PMPF的最大值为 58已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为e,1F、2F分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,则满足条件的一个e的值()A23B34C32D229已知F是椭圆2212516xy的右焦点,M为左焦点,P为椭圆
4、上的动点,且椭圆上至少有 21 个不同的点(1iP i,2,3,),1|FP,2|FP,3|FP,组成公差为d的等差数列,则()AFPM的面积最大时,24tan7FPMB1|FP的最大值为 8Cd的值可以为310D椭圆上存在点P,使2FPM三填空题(共三填空题(共 7 小题)小题)10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F,2F,O为坐标原点,点M为双曲线右支上一点,若12|2|FFOM,21tan2MF F,则双曲线C的离心率的取值范围为11椭 圆2222:1(0)xyCabab的左 右焦 点为1F,2F,M是椭 圆上 一点,若12FMF,且3sincos1(0)
5、2,则椭圆C的离心率e的取值范围是12已知双曲线22221(0,0)xyabab右支上有一点A,它关于原点的对称点为B,双曲线的右焦点为F,满足0AF BF ,且6ABF,则双曲线的离心率e的值是13已知1F、2F是椭圆22221(0)xyabab的焦点,P是椭圆上一点,且1290FPF,则椭圆的离心率e的取值范围是14已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一点,且12120F PF,则椭圆22221(0)xyabab的离心率的取值范围为15设椭圆2222:1(0)xyCabab两焦点为1F,2F,若椭圆上存在点P,使得12PFPF,则椭圆离心率的取值范围为
6、16已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为e,1F,2F分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,则满足条件e的范围第第 9 讲讲 破解离心率问题之顶底角公式破解离心率问题之顶底角公式参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题(共一选择题(共 6 小题)小题)1如图,已知双曲线22221(0,0)xyabab上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF,且,12 6,则该双曲线离心率e的取值范围为()A 2,31B 3,23C 2,23D 3,31【解答】解:在Rt ABF中,|OFc,|2ABc,在直角三角形ABF中,ABF
7、,可得|2 sinAFc,|2 cosBFc,取左焦点F,连接AF,BF,可得四边形AFBF为矩形,|2|cossin|2BFAFAFAFca,11|cossin|2|cos()|4cea,5,1263412,62 1312cos(),2|cos()|,442422,2,31e,故选:A2已知1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得1260FPF,则椭圆离心率e的取值范围是()A212e B202eC112e D1222e【解答】解:如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角12F PF渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端
8、点0P处时,张角12F PF达到最大值由此可得:存在点P为椭圆上一点,使得1260FPF,012P F F中,10260F P F,可得Rt02POF中,0230OP F,所以023POOF,即3bc,其中22cab2223acc,可得224ac,即2214ca椭圆离心率cea,且0ac112e 故选:C3设1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点,P是椭圆上一点,12F PF,90则该椭圆离心率的最小值为()A12B22C33D32【解答】解:1290FPFP在以12F F为直径,原点为圆心的圆上,圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间,即:b c a cea,c
9、 b,由222bca可得:22e故选:B4已知1F,2F是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,椭圆上一点M满足1260FMF,则该椭圆离心率取值范围是()A1(0,2B1,1)2C3(0,3D3,1)3【解答】解:设11|MFr,22|MFr,由余弦定理得:222121212|2|cos60FFMFMFMFMF,222121 24rrrrc,又122rra,即222121 224rrrra,解得222212483acrr,221 2443acrr,22121 22rrrr,2222488833acac,得224ca,01e,1,1)2e故选:B5椭圆22221(23)xyabab的焦
10、点1F、2F在x轴上,点P为椭圆上一点且12F PF不大于120,则它的离心率的取值范围是()A3(0,2B53(,32C5(,1)3D53(,)32【解答】解:因为椭圆中P位于短轴端点时,12F PF最大,由题意可知121tan32cFPFb,所以2213bc,即22213acc,解得32e又因为23ab,2222499()abac,解得53e 所以53(,32e故选:B6 已知椭圆2222:1(0)xyCabab,点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得120APB,则该椭圆的离心率的取值范围是()A6,1)3B3,1)2C2(0,2D3(0,4【解答】解:点A,B是长轴的两个端点
11、,若椭圆上存在点P,使得120APB,则APB的最大值大于等于120即可,即当P为短轴端点时,60APO即可,如图所示,tantan603aAPOb,261()3bea,又01e,该椭圆的离心率的取值范围是6,1)3故选:A二多选题(共二多选题(共 3 小题)小题)7已知椭圆22:143xyC的左、右两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一动点,(1,1)M,则下列结论正确的有()A12PFF的周长为 6B12PFF的最大面积为3C存在点P使得120PFPF D1|PMPF的最大值为 5【解答】解:根据题意可得2a,3b,2221cab,对于A:12PFF的周长为1212|226PFPFF Fa
12、c,故A正确,对于B:12PFF的最大面积为121|32F Fbbc,故B正确,对于C:若要存在点P使得120PFPF ,则12PFPF,即点P在以12F F为直径的圆上,且12|2FF,所以点P为以12F F为直径的圆与椭圆的交点,而椭圆的短轴一半长为12|312F Fr,所以不存在点P,故C错误,对于1222:|2|4|4|415DPMPFPMaPFPMPFMF ,所以1|PMPF最大值为 5,故D正确,故选:ABD8已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为e,1F、2F分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,则满足条件的一个e的值()A23B34C32D22【
13、解答】解:如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角12F PF渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点0P处时,张角12F PF达到最大值椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,012P F F中,10290FP F,Rt02POF中,0245OP F,02POOF,即bc,222acc,可得222ac,22e,又01e,212e,结合选项可得,满足条件的一个e的值为BC故选:BC9已知F是椭圆2212516xy的右焦点,M为左焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有 21 个不同的点(1iP i,2,3,),1|FP,2|FP,3|FP,组成公差为d的等差数列,则()
14、AFPM的面积最大时,24tan7FPMB1|FP的最大值为 8Cd的值可以为310D椭圆上存在点P,使2FPM【解答】解:由已知椭圆方程可得:5a,4b,3c,由椭圆的性质可得:当点P为椭圆的短轴端点时,FPM最大,且此时三角形FPM的面积也最大,此时22322tan244tan3171()4OPFFPMtanOPF,A正确,D错误,椭圆上的动点P满足1|acPFac,即12|8PF,又椭圆上至少有 21 个不同的点组成公差为d的等差数列,所以1|FP的最大值为 8,B正确,设已知的等差数列为na,公差为0d,则12a,8na,又11naadn,所以663121 110dn,所以3010d,
15、即d的最大值为310,C正确,故选:ABC三填空题(共三填空题(共 7 小题)小题)10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F,2F,O为坐标原点,点M为双曲线右支上一点,若12|2|FFOM,21tan2MF F,则双曲线C的离心率的取值范围为(1,5【解答】解:法一:12|2|FFOM,122FMF,222124|cMFMF,1212|tan|MFMF FMF,12|2MFMFa,221222222122222211221222|4|2|4(|)|MFMFMFMFMFceMFMFMFMFaMFMFMF,设12|2|MFtMF,则2221211212tetttt,
16、115222tt,215e,15e 法二:12|2|FFOM,122FMF,令11|MFr,22|MFr,21MF F,tan2,12 sinrc,22 cosrc,1222(sincos)arrc,1sincose,22211152tan(sincos)1sin211tane,15e 故答案为:(1,511椭 圆2222:1(0)xyCabab的左 右焦 点为1F,2F,M是椭 圆上 一点,若12FMF,且3sincos1(0)2,则椭圆C的离心率e的取值范围是12,1)【解答】解:椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点为1F,2F,M是椭圆上一点,若12FMF,且3sincos1(
17、0)2,可得1sin()62,则3,短轴的端点与两个焦点所成角大于等于3,1sin62cea 因为(0,1)e,所以1,1)2e故答案为:1,1)212已知双曲线22221(0,0)xyabab右支上有一点A,它关于原点的对称点为B,双曲线的右焦点为F,满足0AF BF ,且6ABF,则双曲线的离心率e的值是13【解答】解:0AF BF ,可得AFBF,在Rt ABF中,|OFc,|2ABc,在直角三角形ABF中,6ABF,可得|2 sin6AFcc,|2 cos36BFcc,取左焦点F,连接AF,BF,可得四边形AFBF为矩形,|32BFAFAFAFcca,23131cea 故答案为:311
18、3已知1F、2F是椭圆22221(0)xyabab的焦点,P是椭圆上一点,且1290FPF,则椭圆的离心率e的取值范围是2,1)2【解答】解:1F、2F是椭圆22221(0)xyabab的焦点,P是椭圆上一点,且1290FPF,以12F F为直径的圆与椭圆有交点,圆的半径rc b,2222222abaceaa,221e,22e,又01e,椭圆的离心率e的取值范围是22,1),故答案为22,1)14已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一点,且12120F PF,则椭圆22221(0)xyabab的离心率的取值范围为32,1)【解答】解:如图,当动点P在椭圆长
19、轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角12F PF渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点0P处时,张角12F PF达到最大值由此可得:存在点P为椭圆上一点,使得12120F PF,012P F F中,102120FP F,Rt02POF中,0260OP F,所以0233POOF,即33bc,22213acc,可得2243ac,32cea,01e,312e 故答案为:32,1)15设椭圆2222:1(0)xyCabab两焦点为1F,2F,若椭圆上存在点P,使得12PFPF,则椭圆离心率的取值范围为22,1)【解答】解:点P满足12PFPF,点P的轨迹是以12F F为直径的圆,其方程为2
20、22xyc又椭圆上存在点P,使得12PFPF,以12F F为直径的圆与椭圆C有公共点,由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部,b c,即22acc,化简得222ac,解得2ac因此,椭圆C的离心率22cea椭圆离心率在(0,1)之间取值,椭圆C的离心率22e,1)故答案为:22,1)16已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为e,1F,2F分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,则满足条件e的范围2(2,1)【解答】解:如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角12F PF渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点0P处时,张角12F PF
21、达到最大值,因为椭圆上存在点P使得12F PF是钝角,所以012P F F中,10290FP F,所以直角三角形02POF中,0245OP F,所以02POOF,即bc,所以222acc,即222ac,所以22e,又01e,所以212e,故答案为:2(2,1)第第 10 讲讲 几何法秒解离心率问题几何法秒解离心率问题一选择题(共一选择题(共 19 小题)小题)1过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)F c,作圆2224axy的切线,切点为E,延长FE交双曲线左支于点M,且E是MF的中点,则双曲线离心率为()A10B102C105D2 102设1F,2F分别是双曲线2222:1
22、(0,0)xyCabab的左、右焦点圆2222xyab与双曲线C的右支交于点A,且122|3|AFAF,则双曲线离心率为()A125B135C132D133如图,已知椭圆22221(0)xyabab,过原点的直线与椭圆交于A、B两点,点F为椭圆的右焦点,且满足AFBF,设ABF,且12,6,则椭圆离心率e的取值范围为()A 31,23B 31,63C23,23D23,634已知1F,2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点,过左焦点1F的直线与椭圆C交于A,B两点,且11|3|AFBF,2|ABBF,则椭圆C的离心率为()A75B105C2 35D1355设椭圆C的两个焦点是1F
23、,2F,过点1F的直线与椭圆C交于点P,Q,若212|PFF F,且113|4|PFQF,则椭圆C的离心率为()A13B57C35D346如图,1F、2F是椭圆1C与双曲线2C的公共焦点,A、B分别是1C、2C在第二、四象限的公共点,若11AFBF,且13AFO,则1C与2C的离心率之和为()A2 3B4C2 5D2 67设2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点,O为坐标原点,过2F的直线交双曲线的右支于点P,N,直线PO交双曲线C于另一点M,若22|3|MFPF,且260MF N,则双曲线C的离心率为()A3B2C72D528设椭圆2222:1xyCab的左、右两个焦点分别
24、为1F、2F,右顶点为A,M为椭圆上一点,且2212MF AMAFMF A ,则椭圆C的离心率为()A312B3352C514D17449已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A、B两点,A、B两点分别在一、四象限,若|1|2AFBF,则双曲线C的离心率为()A2 33B2C3D510 设直线30(0)xymm与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A,B,若点(,0)P m满足|PAPB,则该双曲线的离心率是()A52B32C52D5111设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F,过
25、点2(,0)F c作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A已知3(,)2aQ c,22F QF A,点P是双曲线C右支上的动点,且11232PFPQF F恒成立,则双曲线离心率的取值范围是()A7(1,)6B10(,)2C710(,)62D10(1,)212已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc,2(,0)F c若椭圆C上存在一点P,使得2112sinsinPF FcPFFa,则椭圆C的离心率的取值范围为()A2(0,)2B(0,21)C(21,1)D2(,1)213已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc,2(,0)F
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