2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第21讲 向量的转换与计算含答案.pdf
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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 21 讲讲 向量向量的转换与计算的转换与计算一选择题(共一选择题(共 1 小题)小题)1F是抛物线2:4C yx的焦点,过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线1l,2l,1l交抛物线C于点A,B,2l交抛物线C于点G,H,则AG HB 的最小值是()A8B8 2C16D16 2二解答题(共二解答题(共 14 小题)小题)2已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l,焦点为F,M的同心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,过原点作倾斜角为3的直线n,交l于点A,交M于另一点B,且|2AOOB()求M和抛物线C
2、的方程;()过点F作两条斜率存在且互相垂直的相交线1l、2l,设1l与抛物线C相交于点P、Q,2l与抛物线C相交于点G、H,求PG HQ 的最小值3已知抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,2)A(1)求抛物线C的标准方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于(OA O为坐标原点)的直线l,使得直线OA与l的距离等于55?若存在,求直线l的方程,若不存在,说明理由(3)过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与抛物线C相交于点M,N,2l与抛物线C相交于点D,E,求MD NE 的最小值4已知点(1,)Mm在抛物线2:2(0)C ypx p上,点M到抛物线C的焦点F
3、的距离为 2,过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l、2l,设1l与抛物线相交于点A、B,2l与抛物线相交于点D、E(1)求抛物线C的方程;(2)求AD EB 的最小值5如图,已知直线与抛物线22(0)ypx p交于M,N两点,点P的坐标为(1,3),OPMN交MN于点P,OMON,抛物线的焦点为F(1)求p的值;(2)记条件(1)所求抛物线为曲线C,过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与曲线C相交于点A,B,2l与曲线C相交于点D,E,求AD EB 的最小值6已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴的距离的差等于 1()求动点P的轨迹C的方程;()过点F作两条
4、斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与轨迹C相交于点A,B,2l与轨迹C相交于点D,E,求AD EB 的最小值7已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab,1(2,0)F 为左焦点,点(2,3)M在椭圆上(1)求椭圆C的方程;(2)过点1F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设3L与椭圆C相交于点A,B2l与椭圆C相交于点DE,求AD EB 的最小值8设定点(1,0)F,动圆P过点F且与直线1x 相切(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与轨迹C相交于点A,B,2l与轨迹C相交于点D,E,求AD EB 的最小值9已知椭圆C
5、的两个焦点是(0,3)和(0,3),并且经过点3(,1)2,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F()求椭圆C和抛物线E的标准方程;()过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线1l、2l,1l交抛物线E于点A、B,2l交抛物线E于点G、H,求AG HB 的最小值10已知两点1(1,0)F 及2(1,0)F,点Q在以1F、2F为焦点的椭圆C上,且1|QF、12|F F、2|QF构成等差数列()求椭圆C的方程;()设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线,|OP,是否存在上述直线l使1AP PB 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由11如
6、图,已知点(2,0)S 和圆22:4O xy,ST是圆O的直径,从左到右M、O和N依次是ST的四等分点,P(异于S,)T是圆O上的动点,PDST,交ST于D,PEED ,直线PS与TE交于C,|CMCN为定值(1)求点C的轨迹曲线的方程及的值;(2)设n是过原点的直线,直线l与n垂直相交于Q点,l与轨迹相交于A,B两点,且|1OQ 是否存在直线l,使1AQ QB 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由12 椭圆的一个顶点为(0,3)M,焦点在x轴上,若右焦点到直线10 xy 的距离为2(1)求椭圆C的方程;(2)设n是过原点的直线,直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A、B两点
7、,|1OP ,是否存在上述直线l使1AP PB 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由13如图,已知点(2,0)S 和圆22:4O xy,ST是圆O的直径,从左到右M和N依次是ST的四等分点,P(异于S、)T是圆O上的动点,PDST,交ST于D,PEED ,直线PS与TE交于C,|CMCN为定值(1)求的值及点C的轨迹曲线E的方程;(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于Q点、与轨迹E相交于A,B两点的直线,|1OQ,是否存在上述直线l,使1AQ QB 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由14 已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22,以该椭圆上的点
8、和椭圆的左、右焦点1F,2F为顶点的三角形的周长为4(21)()求椭圆的标准方程;()设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,|1OP ,是否存在上述直线l使1AP PB 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由15如图,已知抛物线2xy,点1(2A,1)4,3(2B,9)4,抛物线上的点(P x,13)()22yx,过点B作直线AP的垂线,垂足为Q()求直线AP斜率的取值范围;()求|PAPQ的最大值第第 21 讲讲 向量的转换与计算向量的转换与计算参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题(共一选择题(共 1 小题)小题)1F是抛物线2:4C
9、 yx的焦点,过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线1l,2l,1l交抛物线C于点A,B,2l交抛物线C于点G,H,则AG HB 的最小值是()A8B8 2C16D16 2【解答】解:抛物线2:4C yx的焦点(1,0)F,设1l的方程:(1)yk x,2l的方程1(1)yxk,1(A x,1)y,2(B x,2)y,3(G x,3)y,4(H x,4)y,由2(1)4yk xyx,消去y得:2222(24)0k xkxk,12242xxk,121x x 由21(1)4yxkyx,消去y得:22(42)10 xkx,23442xxk,341x x,(9 分)()()|AG HBAFFG HFFB
10、AFFBFGHF ,1234|1|1|1|1|xxxx12123434(1)(1)x xxxx xxx2222448482416kkkk当且仅当2244kk,即1k 时,AG HB 有最小值 16,(12 分)故选:C二解答题(共二解答题(共 14 小题)小题)2已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l,焦点为F,M的同心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,过原点作倾斜角为3的直线n,交l于点A,交M于另一点B,且|2AOOB()求M和抛物线C的方程;()过点F作两条斜率存在且互相垂直的相交线1l、2l,设1l与抛物线C相交于点P、Q,2l与抛物线C相交于点G、H,求PG HQ 的最小值【解
11、答】解:()准线l交y轴于(,0)2PN,在Rt OAN中,3OAN,|12OAON,2p,抛物线方程是24yx,在OMB中,OMOB,3MOB,2OMOB,M的方程是22(2)4xy()由题意知,直线1l的斜率存在且不为 0,设为k,由24yx,得:2222(24)0k xkxk,设1(P x,1)y,2(Q x,2)y,则1x,2x是上述方程的两个实根,12242xxk,121x x,12ll,2l的斜率为1k,设3(G x,3)y,4(H x,4)y,则同理得23424xxk,341x x,()()PG HQPFFGHFFQ PF HFPF FQFG HFFG FQ|PFFQFGHF 1
12、234(1)(1)(1)(1)xxxx12122434()1()1x xxxx xxx 224121 1(24)1kk 22184()84216kk当且仅当221kk时,即1k 时,PG HQ 取最小值 163已知抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,2)A(1)求抛物线C的标准方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于(OA O为坐标原点)的直线l,使得直线OA与l的距离等于55?若存在,求直线l的方程,若不存在,说明理由(3)过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与抛物线C相交于点M,N,2l与抛物线C相交于点D,E,求MD NE 的最小值【解答】解:(1)
13、将(1,2)代入22ypx,得2(2)21p,解得2p 故所求抛物线C的方程为24yx,其准线方程为1x (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为2yxt,由224yxtyx 得2220yyt直线l与抛物线C有公共点,480t,解得12t,由直线OA与l的距离55d,可得|155t,解得1t 11,)2 ,11,)2,符合题意的直线l存在,其方程为210 xy(3)由题意可知:设1(M x,1)y,2(N x,2)y,设直线1l的斜率为0k,则1l的方 程 为(1)yk x,联 立2(1)4yk xyx,得2222(24)0k xkxk,212224kxxk,121x x 12ll,直线2l的
14、斜率为1k,方程为1(1)yxk,设3(D x,3)y,4(B x,4)y联 立21(1)4yxkyx,化 为22(24)10 xkx,23424xxk,341x x()()MD NEMFFDNFFE MF NFMF FEFD NFFD FE|MFFNEFFD 1234(1)(1)(1)(1)xxxx121234342x xxxx xxx224121242kk 22221184()84216kkkk,当且仅当1k 时取等号当1k 时,MD NE 的最小值为 164已知点(1,)Mm在抛物线2:2(0)C ypx p上,点M到抛物线C的焦点F的距离为 2,过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l
15、、2l,设1l与抛物线相交于点A、B,2l与抛物线相交于点D、E(1)求抛物线C的方程;(2)求AD EB 的最小值【解答】解:(1)点(1,)Mm在抛物线2:2(0)C ypx p上,点M到抛物线C的焦点F的距离为 2,122p,2p抛物线C的方程为24yx;(2)设1(A x,1)y,2(B x,2)y,3(D x,3)y,4(E x,4)y由题意知,直线1l的斜率存在且不为零,设为k,则1l的方程为(1)yk x由2(1)4yk xyx,得2222(24)0k xkxk12242xxk,121x x 12ll,直线2l的斜率为1k,同理可得23424xxk,341x x()()|AD E
16、BAFFDEFFBAF FBFD EFAFFBFDEF 123412123434(1)(1)(1)(1)()11xxxxx xxxx xxx 22184()84216kk,当且仅当221kk,即1k 时,AD EB 的最小值为 165如图,已知直线与抛物线22(0)ypx p交于M,N两点,点P的坐标为(1,3),OPMN交MN于点P,OMON,抛物线的焦点为F(1)求p的值;(2)记条件(1)所求抛物线为曲线C,过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与曲线C相交于点A,B,2l与曲线C相交于点D,E,求AD EB 的最小值【解答】解:(1)设1(M x,1)y,2(N x,2
17、)y,由OMON,得12120 x xy y由已知得直线MN的方程是13(1)3yx 即340 xy,则有1212(43)(43)0yyy y,即12123()40y yyy由340 xy与22ypx消去x,得22 380ypyp所以12122 3,8yyp y yp 把代入得83(2 3)40pp,解得2p 当2p 时方程成为24 3160yy,显然此方程有实数根所以2p;(2)由(1)知抛物线方程为24yx由题意知,直线1l的斜率存在且不为 0,设为k,则1l的方程为(1)yk x得2222(24)0k xkxk设1(A x,1)y,2(B x,2)y,则1x,2x是上述方程的两个实根,于
18、是12242xxk,121x x,则2212121616y yx x,1y,24y ,12ll,2l的斜率为1k设3(D x,3)y,4(E x,4)y,则同理可得23424xxk,341x x,3y,44y ()()AD EBAFFDEFFBAF FBFD EF 12123434(1)(1)(1)(1)xxy yxxy y121212343434()1()1xxx xy yxxx xy y 22184()84216kk当且仅当221kk,即1k 时,取最小值 166已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴的距离的差等于 1()求动点P的轨迹C的方程;()过点F作两条斜率存在且互相
19、垂直的直线1l,2l,设1l与轨迹C相交于点A,B,2l与轨迹C相交于点D,E,求AD EB 的最小值【解答】解:()设动点P的坐标为(,)x y,由题意得22(1)|1xyx,化简得222|yxx当0 x时,24yx;当0 x 时,0y,所以动点P的轨迹C的方程为24(0)yx x和0(0)yx()由题意知,直线1l的斜率存在且不为零,设为k,则1l的方程为(1)yk x由2(1)4yk xyx,得2222(24)0k xkxk设A,B的坐标分别为1(x,1)y,2(x,2)y,则12242xxk,121x x 12ll,直线2l的斜率为1k设3(D x,3)y,4(E x,4)y,则同理可
20、得23424xxk,341x x 故()()AD EBAFFDEFFBAF EFAF FBFD EFFD FB 1234|(1)(1)(1)(1)AFFBFDEFxxxx 12123434()11x xxxx xxx 222241121 124184()84216kkkk ,当且仅当221kk,即1k 时,AD EB 的最小值为 167已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab,1(2,0)F 为左焦点,点(2,3)M在椭圆上(1)求椭圆C的方程;(2)过点1F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设3L与椭圆C相交于点A,B2l与椭圆C相交于点DE,求AD EB 的最小值【解答】解:
21、(1)椭圆C的左焦点1(2,0)F 2c,右焦点2(2,0)F点(2,3)M在椭圆上22122(22)3(22)394 294 24 2aMFMF2 2a,2b 椭圆C的方程22184xy(2)设直线1l的方程2(0)xnyn由222184xnyxy可得22(2)440nyny设1(A x,1)y,2(B x,2)y,则12242nyyn,12242y yn 12ll,直线2l的方程12(0)xynn 设3(D x,3)y,4(E x,4)y,则342244112()2nnyynn,2342421ny yn 1111()()AD EBAFFDEFFB 11111111AF EFAF FBFD
22、EFFD FB 1(2x ,12)(2yx,23)(2yx,34)(2yx,4)y121212343434(224)(224)x xxxy yx xxxy y 121212121212224(2)(2)24244x xxxy ynynynynyy y212(1)ny y同理23434343421(224)nx xxxy yy yn22123421(1)nAD EBny yy yn 2222114()221nnnn222222222222212(1)12(1)12(1)16(1)221(2)(21)(2)(12)3()2nnnnnnnnnn当且仅当22221nn即1n 时AD EB 取得最小值1
23、638设定点(1,0)F,动圆P过点F且与直线1x 相切(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1l,2l,设1l与轨迹C相交于点A,B,2l与轨迹C相交于点D,E,求AD EB 的最小值【解答】解:(1)定点(1,0)F,动圆P过点F且与直线1x 相切,依题意知,点P的轨迹C是以(1,0)F为焦点,以直线经为准线的抛物线,动圆圆心P的轨迹C的方程为24yx(2)由题意知,直线1l的斜率存在且不为 0,设为k,则1l的方程为(1)yk x由2(1)4yk xyx,得2222(24)0k xkxk设1(A x,1)y,2(B x,2)y,则有12242xxk,
24、121x x 12ll,2l的斜率为1k设3(D x,3)y,4(E x,4)y,则同理可得23424xxk,341x x 故()()AD EBAFFDEFFB AF EFAF FBFD EFFD FB|AFFBFDEF 1234(1)(1)(1)(1)xxxx12123434()1()1x xxxx xxx 2241(2)1 1(24)1kk 22221184()84216kkkk当且仅当221kk,即1k 时,AD EB 取得最小值 169已知椭圆C的两个焦点是(0,3)和(0,3),并且经过点3(,1)2,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F()求椭圆C和抛物线E的标准方
25、程;()过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线1l、2l,1l交抛物线E于点A、B,2l交抛物线E于点G、H,求AG HB 的最小值【解答】解:()I设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab,焦距为2c,则由题意得3c,22332(13)(13)444a,2a,2221bac,椭圆C的标准方程为2214yx(4 分)右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为22(0)ypx p,1,242pp,抛物线E的标准方程为24yx(6 分)()设1l的方程:(1)yk x,2l的方程1(1)yxk,1(A x,1)y,2(B x,2)y,3(G x,3)y,4(H x,4)y,由2(1)4
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