实用线性代数.ppt
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1、实用大众线性代数(MATLAB版)序言本书的特色和概貌本书的特色和概貌本书的书名反映了它的特色,那就是“实用化”、“现代化”和“大众化”三个方面。“实用化”指的是本书以工科的后续课及未来工程的需求为标准安排内容,附录B,C中列出的60个应用实例表明了本书的实用背景;“现代化”指的是用软件MATLAB来解决问题,不依靠笔算;“大众化”指的是书中采用了最少、最浅而又足够的理论,使推理能力不太强的学生和有实践经验但不接触数学多年的工程师都能接受,便于向大众普及。线性代数为何列入共同基础课50年前,线性代数进入美国大学数学系本科教学计划1,中国的非数学系从80年代起也增设这门课。线性代数为什么在近几十
2、年如此风靡呢?不是它在古典理论上有新突破,而是在应用上的创新。1973年的诺贝尔经济奖发给了首创用计算机解54阶线性方程组Leontiff教授;它推动了线性代数在解决大规模线性方程组方面的成就。80年代初,线性代数软件包LINPACK开发成功。这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节,就可以解决大型复杂的线性代数命题,MATLAB也是用此软件包作为后台支撑的。于是,线性代数不再是少数理论尖子才能学会的秘笈,而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。但人们在一个时期内却沿用了数学系的教法。这门由计算机催生的课程却不和计算机相结合,而偏重讲一两百年前的数学理论,与应用无法结合,引起了师生的强烈改革要求
3、。美国的线性代数改革美国从1990年提出了线性代数改革的五条建议:(i)线性代数课程要面向应用,满足非数学专业的需要;(ii)它应该是面向矩阵的;(iii)它应该是根据学生的水平和需要来组织的;(iv)它应该利用新的计算技术;(v)抽象内容应另设后续课程来讲。1992-1997在大学教师中实施了”用软件工具加强线性代数教学”的ATLAST计划,主要推广MATLAB。MIT的G.Strang教授提出了“让线性代数向世界开放”的口号,听他的视频讲座的人数已超过一百万。在中国科技和经济高速发展的今天,普及线性代数也具备了更好的条件。这本书就是为从事应用层面的技术人员和高校学生写的。我国线性代数实践教
4、学的改革传统线性代数的最大弱点是“片面强调理论,脱离机算实践”,作者2005年写的线性代数实践及MATLAB入门5,主要就是改革这点,读者对象是教师。2007年与高淑萍和杨威两位老师合编了工程线性代数(MATLAB版)6,读者对象是学生。该书以强化建模和实践为主,由于考虑到学生考研,理论一点不敢动。2009年高教司指定由本人牵头,19所大学参与,实施了“用MATLAB及建模实践改造工科线性代数”子项,这两本书就是项目思想的载体。两年中,共有200多名教师、45000名学生在这项改革中受益,虽然在线性代数中使用计算机已是师生的共识,但传统大纲中的理论占了很多学时,使学生实践受到很大限制,一些学时
5、少的学校的线性代数课处于半取消状态。线性代数理论教学的改革思路想把改革目标转向简化理论。就要弄清哪些理论是工科学生必学的。线性代数理论博大精深,从一个工科教师的角度,犹如井底之蛙,不可能从顶向下地梳理清楚。但可以采用逆向思考的方法,把见过的后续课和工程问题加以归纳,找到其最低限度需要的理论。凡是后续课需要的,讲透加强;凡是找不到直接需求的,即予删除;凡是能找到简明证法的,均予采纳。根据工科学生的特点,尽量从具体到抽象,加强图形和动画等形象教学在理论证明中的作用。从这些命题中归纳出对理论的需求,反映在本教材中,为四方面的重大改革:(1)关于行列式的讲法 我们发现,在所有的应用命题中,除了强凑求面
6、积体积和求特征方程的问题外,没有一个要算行列式的,花了很多学时讲的各种理论和方法竟然没用处。这是因为用消元法解方程时,已经用主元不为零判定了解的存在和唯一,不知不觉中已用了行列式;不必另起炉灶,教学生带有“维数灾难”(见3.2.2节)根本无法用来计算的行列式定义。主元连乘法是高斯消元的自然延伸,不引进新概念新名词,并可很容易地证明行列式的各种有用的性质,也是软件编程的依据。(1)关于行列式的讲法(续)本书彻底摆脱了逆序数、代数余子式、随伴矩阵、行列式按行展开、等等繁琐的数学术语和推导,大大压缩了篇幅,避开了许多“拦路虎”。不讲这些概念水平就低吗?其实讲透了传统方法的致命痼疾,让后人别白费时间,
7、才体现了水平。还可以举出两个佐证:一是国际领先的矩阵软件MATLAB中就没有这些术语及其子程序。全世界有几百万用户却都在靠它解大规模、高难度的线性代数问题,说明应用中确实不需要这些概念;二是美国MIT的教材(著者就是那位有百万听众的G.Strang)也不讲这些概念,只通过二、三阶矩阵简单介绍了一下,深度与本书相当。(2)向量空间要讲透三维,减缩N维 帮助大学低年级学生建立立体概念是大学教学计划中的重要一环,线性代数本应该有责任帮助学生建立空间概念,但现有教法却弱化三维,过分强调N维空间,全是公式,没法画图,很不利于学生接受。本书强调二、三维,使例子形象化,并使图形作为建立概念的重要工具。例如在
8、三维空间中如何认识欠定方程组和超定方程组的解,如何认识和应用坐标变换、投影和QR分解等。N维概念主要用于解方程组,不是用于向量空间,这也是和传统教材的区别。不是说N维不重要,而是说要循序渐进,先感性积累,后理性抽象,一年级学N维太早了。(3)弱化欠定,加强超定。欠定方程组是由于命题条件不足造成的,工程师可以拒绝处理,在强调解的唯一性的数学入门阶段,拿不出基础解的工程实例,学生很难理解其的意义,只有研究生的数学规划课程才也许有用,在此让大学新生花很多学时是太超前了。超定方程则是工程上常见的问题,它来源于实践中不可避免的干扰和测量误差,而且正是数学家高斯提出的极漂亮的最小二乘解法,其证明又可加强向
9、量空间概念。世界各国的教材都讲,只有我国的教材不讲,本书许多命题就不会解。“大讲欠定,不讲超定”是我国线性代数教学脱离工程的表现之一。(4)特征根只讲两阶,但讲复数根特征根的意义和解法不讲高阶,只讲到两阶为止,但实数和复数根都要讲。实际上三阶及以上的特征根,多数老师都不会笔算,也没有一本教材讲它的求法。应该老老实实告诉学生,三阶以上系统的特征值问题,手工解是不行的,只有依靠计算机。高阶实二次型不但计算有难度,而且很难找其物理意义和几何模型,更谈不上工程应用。而复数特征根却是工程中很有用的。它是理解振动问题的基础,它是学生在日常经验中能够接受的。用最少理论解决最多实际问题用最小的学习成本以获得最
10、大的应用效果,这是本书取材的准则。这四项改革是针对以机电信控专业应用为目标的非数学系大学生和工程师提出的理论上的最低要求,不包括线性代数在更深层次和更高水平上的应用。此外本书力图用工程语言来叙述概念,从具体到抽象,尽量少用数学定义,多用图形等来证明,不过分强调严密。微积分教材有两百年了,有深有浅,花样还多些;线性代数历史短,与工科远未磨合好,教材基本上都还是数学系的模式,很难适应不同的需求和口味,不利于普及,应该让各种非数学系的版本来调调味了。钱学森对工科数学改革的意见钱学森先生在1989年写道:“今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干,不需要人去一点一点算。而直到今天,工科理科大学一二年
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