线性代数第五章相似矩阵与二次型第4节.ppt
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1、第四节第四节 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论用正交矩阵用正交矩阵 P 化实对称矩阵化实对称矩阵 A 为对角形为对角形矩阵的方法矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数。实对称矩阵的特征根是实数。一、一、实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论定理定理定理的意义定理的意义 由于实对称矩阵由于实对称矩阵A A的特征值的特征值 是实数是实数所以实系数齐次线性方程组所以实系数齐次线性方程组 必有实必有实的基础解系的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量从而对应的特征向量可以取实向量.证明证明于是有于是有两式相减,得两式相减,得是实对称矩阵是实对称矩阵A的
2、两个特征根,的两个特征根,分别是对应于分别是对应于 设设的特征向量,若的特征向量,若定理定理证明证明于是于是设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,从而对应特征根从而对应特征根恰有恰有r个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。定理定理 为对角元素的对角矩阵。为对角元素的对角矩阵。设设A是是n 阶实对称矩阵,则必有正交矩阵阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P定理定理证明证明:设设A的互不相等的特征根为的互不相等的特征根为它们的重数依次为它们的重数依次为 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得n个。个。按定理按定理 知对应于不同特征根的特征向量正交,知对应于不同特征根的特征向量正交,故这故这n个单位特
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- 线性代数 第五 相似 矩阵 二次
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