(6.5.1)--5.5对称矩阵的对角化.pdf
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1、第5章-相似矩阵及二次型FifthChapter证 Ap1=1 p1,Ap2=p2,因为A是对称阵,所以 1p1T=(1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,右乘 p2,则 1p1Tp2=p1TAp2=p1T(p2)=2p1Tp2,(1 2)p1Tp2=0,因为 1 2,则 p1Tp2=0,即p1,p2正交性质1:对称矩阵的特征值为实数.性质2:设 1和 2是对称阵A的特征值,p1,p2是对应的特征向量,若 1 2,则 p1,p2正交V对称矩阵的对角化定理:设 A 为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得P1AP=PTAP=,其中 是以A 的n个特征值为对角元的对角阵.推论:设 A为 n 阶
2、对称阵,是A的特征方程的k重根,则矩阵 A的秩等于 nk,对应特征值 恰有 k 个线性无关的特征向量对称阵A 对角化的步骤:(1)求出 A 的全部互不相等的特征值 1,2,s,其重数依次为(2)对每个ki重特征值 i,求(A iE)x=0 的基础解系,得到(3)这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P,便有P1AP=PTAP=中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.k1,k2,ks(k1+k2+ks=n)ki个线性无关的特征向量,将其正交单位化,得到 ki个两两正交的单位特征向量(因k1+k2+ks=n,总共可得n 个两两正交的单位特征向量)解 因为A为对称阵,所以A可对角化由求得A
3、 的特征值为 1=2,2=3=1011101110A21111(1)(2)11AE 例 设,求正交阵P,使 P1AP=为对角阵.当 1=2 时,解方程组(A+2E)x=0由2111012121011112000rAE,111.1111111111000111000rAE111131p得基础解系将其单位化,可得到当 2=3=1 时,解方程组(AE)x=0由23111 001,将 2,3 正交化:32223322211,11 1,202,将 2,3单位化:2311111 12602pp,得基础解系为:将 p1,p2,p3构成正交阵从而123111326111(,)32612036Pppp1200010.001TPAPPAP 谢谢,再见!
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- 6.5 5.5 对称 矩阵 角化
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