数学模型与数学建模ppt课件.ppt
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1、数数 学学 模模 型型 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 课 程 名 称学 时 36数学模型与数学建模Mathematical Modeling学 分3课程类别专业选修课先 修 课 程微积分、线性代数、概率论与数理统计课 程 简 介本本课程是程是计算机及管理算机及管理专业的一的一门专业选修修课。也是本科生参加数学建。也是本科生参加数学建模模竞赛的的辅导课程。数学模型是架于数学理程。数学模型是架于数学理论和和实际问题之之间的的桥梁。梁。数学建模是数学建模是应用数学解决用数学解决实际问题的重要手段和途径。本的重要手段和途径。本书介介绍数学建数学建模中常用的一些基本概念、理模
2、中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型,包括:数据和典型的数学模型,包括:数据拟合,合,网网络模型,模型,优化模型,离散模型、随机模型,化模型,离散模型、随机模型,时间序列序列预报模型,回模型,回归分析及其分析及其试验设计。通。通过数学模型和数学建模有关数学模型和数学建模有关问题的的论述和模型述和模型实例的介例的介绍,使学生,使学生应用数学解决用数学解决实际问题的能力有所提高。的能力有所提高。教 材 及 参 考 书 目数学模型,姜启源主编,高等教育出版社 课课 程程 简简 介介 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主
3、编第一章第一章 建立数学模型建立数学模型第二章第二章 初等模型初等模型第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第六章第六章 稳定性模型稳定性模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第八章第八章 离散模型离散模型第九章第九章 概率模型概率模型第十章第十章 统计回归模型统计回归模型附录附录:数学建模实验数学建模实验资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值周次节次教学内容课时作业执行情况1五 56 1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数
4、学模型的基本方法步骤、特点和分类22五 562.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五 562.7实物交换3.2生猪的出售时机24五 563.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五 563.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五 564.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五 56 5.2经济增长模型 5.6人口的预测和控制 28五 56 6.1捕鱼业的持续收获 6.2军备竞赛(讨论课)2 教教 学学 进进 度度 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随
5、时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值9五 56 6.4种群的相互依存 7.1市场经济中的蛛网模型2 10五 56 7.2减肥计划-节食与运动 8.3层次分析模型212五 56 8.4效益的合理分配 9.2报童的诀窍(讨论课)213五 56 9.5随机人口模型 9.6航空公司的预定票策略214五五56 10.1牙膏的牙膏的销售量售量2评估周评估周15五 56 Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五 56 数学建模实验(上机)217五 56 数学建模实验(上机)218 考试 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金
6、的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3数学建模示例数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模怎样学习数学建模资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值玩具、照片、飞机、火箭模型玩具
7、、照片、飞机、火箭模型实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的,对客观事物的一部分是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变
8、化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速,表示船速,y 表示水速,列出方程:表示水速,列出方程:答:船速每小时答:船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米,船从甲到乙顺水航行需千米,船从甲到乙顺水航行需30小时,小时,从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少小时,问船的速度是多少?x=20y=5求解求解 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化
9、的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤作出简化假设(船速、水速为常数);作出简化假设(船速、水速为常数);用符号表示有关量(用符号表示有关量(x,y表示船速和水速);表示船速和水速);用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程);时间)列出数学式子(二元一次方程);求解得到数学解答(求解得到数学解答(x=20,y=5););回答原问题(船速每小时回答原问题(船速每小时20千米千米/小时)。小时)。第一章第一章 建立数学模型建立数学
10、模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值数学模型数学模型(MathematicalModel)和和数学建模(数学建模(MathematicalModeling)对于一个对于一个现实对象现实对象,为了一个,为了一个特定目的特定目的,根据其根据其内在规律内在规律,作出必要的,作出必要的简化假设简化假设,运用适当的运用适当的数学工具数学工具,得到的一个,得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程(包括表述、求解、解释、检验等)(包括表述、求解、解释
11、、检验等)数学模型数学模型数学数学建模建模 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展;电子计算机的出现及飞速发展;数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;在
12、一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值数学建模的具体应用数学建模的具体应用分析与设计分析与设计预报与决策预报与决策控制与优化控制与优化规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼 第一
13、章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常三只脚着地三只脚着地放稳放稳四只脚着地四只脚着地四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化,可视为数学上的连续地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三地
14、面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODCBA用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚
15、四只脚)A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和f()B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0
16、数学数学问题问题已知:已知:f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意,f()g()=0;且且g(0)=0,f(0)0.证明:存在证明:存在 0,使,使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900,对角线,对角线
17、AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0,f(0)0,知,知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)p2/n2,对对不公平不公平A p1/n1p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2席,若增加席,若增加1席,问应分给席,问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时p1/n1p2/n
18、2,即对即对A不公平不公平对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若p1/n1p2/n2,定义定义 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1)若)若p1/(n1+1)p2/n2,则这席应给则这席应给A2)若)若p1/(n1+1)p2/(n2+1),应计算应
19、计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2问:问:p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给B 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值当当rB(n1+1,n2)640g=0.1 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时
20、间价值敏感性分析敏感性分析研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响估计估计r=2,g=0.1设设g=0.1不变不变t 对对r 的(相对)敏感度的(相对)敏感度生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%,出售时间推迟,出售时间推迟3%。rt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值敏感性分析敏感性分析估计估计r=2,g=0.1研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响设设r=2不变不变t
21、对对g的(相对)敏感度的(相对)敏感度生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%,出售时间提前,出售时间提前3%。gt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计,再作计算。再作计算。研究研究r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响
22、w=80+rt w=w(t)p=8-gt p=p(t)若若(10%),则则(30%)每天利润的增值每天利润的增值每天投入的资金每天投入的资金 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值3.3 森林救火森林救火森林失火后,要确定派出消防队员的数量。森林失火后,要确定派出消防队员的数量。队员多,森林损失小,救援费用大;队员多,森林损失小,救援费用大;队员少,森林损失大,救援费用小。队员少,森林损失大,救援费用小。综合考虑损失费和救援费,
23、确定队员数量。综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x,使,使f1(x),f2(x)之和最之和最小小 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化
24、的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编资金是运动的价值,资金的价值是随时间变化而变化的,是时间的函数,随时间的推移而增值,其增值的这部分资金就
25、是原有资金的时间价值模型假设模型假设3)f1(x)与与B(t2)成正比,系数成正比,系数c1(烧毁单位面积损失费)烧毁单位面积损失费)1)0 t t1,dB/dt与与t成正比,系数成正比,系数(火势蔓延速度)火势蔓延速度)2)t1 t t2,降为降为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度)速度)4)每个)每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1)的解释的解释 rB火势以失火点为中心,火势以失火点为中心,均匀向四周呈圆形蔓延,均匀向四周呈圆形蔓延,半径半径r与与t 成正比成正比面积面积B与与t2成正比,成正比,dB/dt与与t成正比成正比.第三
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