将军饮马模型(终稿)(4页).doc
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1、-第 1 页将军饮马模型(终稿)-第 2 页将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识:一、背景知识:【传说】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦海伦一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营 A 出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营 B 开会,应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它从此以后,这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题便流传至今【问题原型】将军饮马造桥选址 费马点【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短;三角形两边三边关系;轴对称;平移;【解题思路】找对称点,实现折转直二、将军饮马问题
2、常见模型二、将军饮马问题常见模型1.1.两定一动型:两定一动型:两定点到一动点的距离和最小例 1:在定直线l上找一个动点 P,使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小,即 PA+PB最小.作法作法:连接 AB,与直线l的交点 Q,Q 即为所要寻找的点,即当动点 P 跑到了点 Q 处,PA+PB 最小,且最小值等于 AB.原理:原理:两点之间线段最短。证明证明:连接 AB,与直线l的交点 Q,P 为直线l上任意一点,在PAB 中,由三角形三边关系可知:AP+PBAB(当且仅当 PQ 重合时取)例例 2 2:在定直线l上找一个动点 P,使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小,
3、即 PA+PB 的和最小.关键:找对称点关键:找对称点作法作法:作定点 B 关于定直线l的对称点 C,连接 AC,与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点,即当动点 P 跑到了点 Q 处,PA+PB 和最小,且最小值等于 AC.原理:原理:两点之间,线段最短证明证明:连接 AC,与直线l的交点 Q,P 为直线l上任意一点,在PAC 中,由三角形三边关系可知:AP+PCAC(当且仅当 PQ 重合时取)2.2.两动一定型两动一定型-第 3 页例 3:在MON 的内部有一点 A,在 OM 上找一点 B,在 ON 上找一点 C,使得BAC 周长最短作法:作法:作点 A 关于 OM 的对称点 A,作点
4、A 关于 ON 的对称点 A,连接 A A,与 OM交于点 B,与 ON 交于点 C,连接 AB,AC,ABC 即为所求原理:原理:两点之间,线段最短例 4:在MON 的内部有点 A 和点 B,在 OM 上找一点 C,在 ON 上找一点 D,使得四边形 ABCD 周长最短作法作法:作点 A 关于 OM 的对称点 A,作点 B 关于 ON 的对称点 B,连接 A B,与 OM 交于点 C,与 ON 交于点 D,连接 AC,BD,AB,四边形 ABCD 即为所求原理:原理:两点之间,线段最短3.3.两定两动型最值两定两动型最值例 5:已知 A、B 是两个定点,在定直线l上找找两个动点 M 与 N,
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