第三章_扭转.ppt
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1、第三章 扭 转第三章第三章 扭扭 转转第三章 扭转3-23-2扭转时的内力扭转时的内力3-33-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3-4 3-4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 3-5 3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算3-13-1工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题第三章 扭转【本章重点内容本章重点内容】1.1.传动轴的外力偶矩的计算传动轴的外力偶矩的计算2.2.切应力互等定理和剪切胡克定律切应力互等定理和剪切胡克定律3.3.圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算第三章 扭转4.4.圆轴扭转的刚度计算圆轴扭转的刚度计算3 31 1 工程实际中的扭转问题
2、工程实际中的扭转问题第三章 扭转以扭转为主要变形的工程构件有:传动轴、攻丝以扭转为主要变形的工程构件有:传动轴、攻丝1.1.工程中的扭转问题工程中的扭转问题3-1 工程实际中的扭转问题以扭转为主要变形的工程构件有:传动轴、攻丝以扭转为主要变形的工程构件有:传动轴、攻丝1.1.工程中的扭转问题工程中的扭转问题3-1 工程实际中的扭转问题传动轴传动轴汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等3-1 工程实际中的扭转问题1.1.工程中的扭转问题工程中的扭转问题MMOA任意两截面绕轴线相对转动的角位移任意两截面绕轴线相对转动的角位移.构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力构件两端受到
3、两个在垂直于轴线平面内的力偶作用,两力偶大小相等,转向相反偶作用,两力偶大小相等,转向相反.B2.2.扭转变形扭转变形外力特点:外力特点:变形特点:变形特点:各横截面绕轴线发生相对转动各横截面绕轴线发生相对转动.扭转角(扭转角():):ABO3-1 工程实际中的扭转问题3-2 3-2 扭转时的内力扭转时的内力第三章 扭转3-2 扭转时的内力1.1.外力偶矩的计算外力偶矩的计算其中:其中:M 外力偶矩(外力偶矩(N.m)P 功率,功率,千瓦千瓦(kW)n 转速,转转速,转/分(分(r/min)(3.1)功率的单位是功率的单位是W(瓦)(瓦)轴所受的力偶矩与功率成正比,与转速成反比轴所受的力偶矩与
4、功率成正比,与转速成反比.因此,在传动系统中,低速轴的直径要比高速轴的直径大因此,在传动系统中,低速轴的直径要比高速轴的直径大.(3)(3)扭矩符号扭矩符号2.2.扭矩扭矩右手螺旋法则:右手螺旋法则:与外法线方向相同为正与外法线方向相同为正,与外法线方向相反为负与外法线方向相反为负.构件受扭时,横截面上的内力偶矩,称为扭矩构件受扭时,横截面上的内力偶矩,称为扭矩.(1)(1)扭矩扭矩(2)(2)截面法求扭矩截面法求扭矩3-2 扭转时的内力MMMTx扭矩沿杆件轴线变化规律的图线扭矩沿杆件轴线变化规律的图线 扭矩变化规律扭矩变化规律(4)(4)扭矩扭矩图图 强度计算(危险截面)强度计算(危险截面)
5、3-2 扭转时的内力xTMM|T|max值及其截面位置值及其截面位置 当轴上有几个外力偶作用时,杆各截面上的扭矩当轴上有几个外力偶作用时,杆各截面上的扭矩须分段求出须分段求出.2.2.扭矩扭矩画扭矩图画扭矩图截面法求扭矩截面法求扭矩3-2 扭转时的内力 当轴上有几个外力偶作用时,杆各截面上的扭矩须分当轴上有几个外力偶作用时,杆各截面上的扭矩须分段求出段求出.最大扭矩在最大扭矩在AB段段例例3-13-13-2 扭转时的内力装岩机的后车轴,已知功率装岩机的后车轴,已知功率P=10.5kW,n=680r/min,机体载荷通过轴承传到车轴上,试画出车轴的扭矩图机体载荷通过轴承传到车轴上,试画出车轴的扭
6、矩图.解:解:(1)计算外力偶矩)计算外力偶矩例例3-13-13-2 扭转时的内力装岩机的后车轴,已知功率装岩机的后车轴,已知功率P=10.5kW,n=680r/min,机体载荷通过轴承传到车轴上,试画出车轴的扭矩图机体载荷通过轴承传到车轴上,试画出车轴的扭矩图.解:解:(1)外力偶矩)外力偶矩(2)扭矩和扭矩图)扭矩和扭矩图3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第三章 扭转薄壁圆筒:壁厚薄壁圆筒:壁厚(r0:为平均半径)为平均半径)1.1.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力扭转实验扭转实验(1)(1)绘纵向线,圆周线绘纵向线,圆周线(2)(2)施加一对外力偶施加一对外力偶M3-3
7、 薄壁圆筒的扭转变形分析变形分析 圆周线不变圆周线不变 圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未 改变,只是绕轴线作了相对转动改变,只是绕轴线作了相对转动结论结论 与与 的关系的关系3-3 薄壁圆筒的扭转 纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线 各纵向线平行并均倾斜了同一微小角度各纵向线平行并均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形1.1.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力变形分析变形分析(1)(1)圆周线不变圆周线不变(1)(1)圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面各圆周线的形状、大小和间
8、距均未 改变,只是绕轴线作了相对转动改变,只是绕轴线作了相对转动结论结论3-3 薄壁圆筒的扭转(2)(2)纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线(2)(2)各纵向线平行并均倾斜了同一微小角度各纵向线平行并均倾斜了同一微小角度 切应力在横截面上均匀分布切应力在横截面上均匀分布.1.1.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力A0 0:平均半径所作圆的面积:平均半径所作圆的面积.切应力的和力矩等于扭矩切应力的和力矩等于扭矩静力学关系静力学关系薄壁,厚度很小,切应力沿厚度均匀分布薄壁,厚度很小,切应力沿厚度均匀分布.3-3 薄壁圆筒的扭转1.1.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力边长为微量的正六面体
9、边长为微量的正六面体 切应力互等定理切应力互等定理 两互相垂直截面上在其相交处的切应两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在,数值相等,符号相反力成对存在,数值相等,符号相反.这个这个规律称为规律称为切应力互等定理切应力互等定理.3-3 薄壁圆筒的扭转2.2.切应力互等定理切应力互等定理单元体单元体应力状态应力状态 在构件上一点,截取处的单元体上作用的应力,代在构件上一点,截取处的单元体上作用的应力,代表这点的应力情况表这点的应力情况.3-3 薄壁圆筒的扭转切应变(切应变()直角的改变量直角的改变量.纯剪切应力状态纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用
10、,有切应力而无正应力作用,这种应力状态称为这种应力状态称为纯剪切应纯剪切应力状态力状态.2.2.切应力互等定理切应力互等定理 T 剪切虎克定律剪切虎克定律3.3.剪切胡克定律剪切胡克定律3-3 薄壁圆筒的扭转 当切应力不超过材料的剪切比例极限时(当切应力不超过材料的剪切比例极限时(p ),切,切应力与切应变成正比关系应力与切应变成正比关系.扭转实验扭转实验 式中:式中:G 是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量.剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数质的三个常数.对各向同性材料,这三个弹性常
11、数之间存对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系:在下列关系:拉压胡克定律拉压胡克定律3-3 薄壁圆筒的扭转3.3.剪切胡克定律剪切胡克定律3-4 3-4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 第三章 扭转1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-4 圆轴扭转时的应力和变形(1 1)变形几何关系)变形几何关系(2 2)应力应变关系)应力应变关系(3 3)静力学关系)静力学关系(1 1)变形几何关系)变形几何关系 圆轴扭转时,横截面上有圆轴扭转时,横截面上有什么应力?应力如何分布?什么应力?应力如何分布?圆圆轴轴扭转扭转实验实验1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-4 圆轴
12、扭转时的应力和变形(1 1)变形几何关系)变形几何关系圆圆轴轴扭转扭转实验实验平面截面假设:平面截面假设:圆轴扭转是无数层薄壁圆筒圆轴扭转是无数层薄壁圆筒扭转的组合,其内部存在同样的扭转的组合,其内部存在同样的变形规律变形规律.3-4 圆轴扭转时的应力和变形(1 1)变形几何关系)变形几何关系 圆轴扭转时,各横截面如同圆轴扭转时,各横截面如同 刚平面绕轴线作相对转动刚平面绕轴线作相对转动.由此假设得到的应力和应变计由此假设得到的应力和应变计算式,得到试验结果证实算式,得到试验结果证实.1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力平面截面假设:平面截面假设:圆轴扭转是无数层薄壁圆筒圆轴扭转是无数层薄
13、壁圆筒扭转的组合,其内部存在同样的扭转的组合,其内部存在同样的变形规律变形规律.3-4 圆轴扭转时的应力和变形(1 1)变形几何关系)变形几何关系 圆轴扭转时,各横截面如同圆轴扭转时,各横截面如同 刚平面绕轴线作相对转动刚平面绕轴线作相对转动.由此假设得到的应力和应变计由此假设得到的应力和应变计算式,得到试验结果证实算式,得到试验结果证实.1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 在在dx长度上,圆柱的两端面相对转过角度长度上,圆柱的两端面相对转过角度d d;3-4 圆轴扭转时的应力和变形 O2 2C和和O2 2D保持为一直线,保持为一直线,O2C和和O2D转动同一角度;转动同一角度;半径不等
14、处切应变不相同,半径越小切应变越小半径不等处切应变不相同,半径越小切应变越小.(1 1)变形几何关系)变形几何关系1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 距圆心为距圆心为 处,处,与到圆心与到圆心的距离的距离 成正比成正比.扭转角沿轴线方向变化率扭转角沿轴线方向变化率.(a)3-4 圆轴扭转时的应力和变形在确定的横截面上在确定的横截面上 是不变量是不变量(1 1)变形几何关系)变形几何关系1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力(2 2)应力应变关系)应力应变关系剪切胡克定律剪切胡克定律将(将(b)代入()代入(a)得)得(a)(b)3-4 圆轴扭转时的应力和变形(c)横截面上的切应力沿径向
15、线性分布,数值不能确定横截面上的切应力沿径向线性分布,数值不能确定.(1 1)变形几何关系)变形几何关系令令代入物理关系式得:代入物理关系式得:极惯性矩(极惯性矩(m4 4)(3.6)(3.5)(b)3-4 圆轴扭转时的应力和变形(3 3)静力学关系)静力学关系式中:式中:圆轴扭转时横截面上的切应力公式圆轴扭转时横截面上的切应力公式(3.7)(3.6)(b)3-4 圆轴扭转时的应力和变形(3 3)静力学关系)静力学关系1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力T 横截面上的扭矩横截面上的扭矩 截面上任意点到圆心的距离截面上任意点到圆心的距离 Ip 截面对形心的极惯性矩截面对形心的极惯性矩 仅适用
16、于各向同性、线弹性材料,在小变仅适用于各向同性、线弹性材料,在小变形时的等圆截面直杆形时的等圆截面直杆.(4 4)公式的讨论公式的讨论 尽管由实心圆截面杆推出公式,但同样适尽管由实心圆截面杆推出公式,但同样适 用于空心圆截面杆,只是极惯性矩用于空心圆截面杆,只是极惯性矩I Ip p值不同值不同.3-4 圆轴扭转时的应力和变形1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力(5 5)惯性矩的计算惯性矩的计算对于实心圆截面对于实心圆截面(3.8)3-4 圆轴扭转时的应力和变形1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-4 圆轴扭转时的应力和变形1.1.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力对于空心圆截面对于空心
17、圆截面(3.9)(5 5)惯性矩的计算惯性矩的计算例例3-23-23-4 圆轴扭转时的应力和变形轴轴AB传递功率传递功率P=7.5=7.5kW,转速,转速n=360r/=360r/min,AC段实心圆截面,段实心圆截面,CB段空心圆截面,段空心圆截面,D=30mm,d=20mm,试求试求AC段和段和CB横截面边缘处的切应力横截面边缘处的切应力.解:解:(1)计算扭矩)计算扭矩例例3-23-23-4 圆轴扭转时的应力和变形轴轴AB传递功率传递功率P=7.5=7.5kW,转速,转速n=360r/=360r/min,AC段实心圆截面,段实心圆截面,CB段空心圆截面,段空心圆截面,D=30mm,d=2
18、0mm,试求试求AC段和段和CB横截面边缘处的切应力横截面边缘处的切应力.解:解:(1)计算扭矩)计算扭矩(2)计算极惯性矩)计算极惯性矩例例3-23-23-4 圆轴扭转时的应力和变形轴轴AB传递功率传递功率P=7.5=7.5kW,转速,转速n=360r/=360r/min,AC段实心圆截面,段实心圆截面,CB段空心圆截面,段空心圆截面,D=30mm,d=20mm,试求试求AC段和段和CB横截面边缘处的切应力横截面边缘处的切应力.解:解:(3)计算应力)计算应力AC段:段:例例3-23-23-4 圆轴扭转时的应力和变形轴轴AB传递功率传递功率P=7.5=7.5kW,转速,转速n=360r/=3
19、60r/min,AC段实心圆截面,段实心圆截面,CB段空心圆截面,段空心圆截面,D=30mm,d=20mm,试求试求AC段和段和CB横截面边缘处的切应力横截面边缘处的切应力.解:解:(3)计算应力)计算应力CB段:段:画应力在横截面上的分布图画应力在横截面上的分布图由公式(由公式(3.63.6)当长为当长为 的杆,其两截面间的杆,其两截面间相对扭转角相对扭转角 为为式中:式中:内力扭矩(可以是内力扭矩(可以是x 的函数)的函数)极惯性矩(可以是极惯性矩(可以是x 的函数)的函数)剪切弹性模量(常量)剪切弹性模量(常量)(1 1)相对扭转角)相对扭转角(3.6)(3.10a)3-4 圆轴扭转时的
20、应力和变形2.2.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形由公式由公式(3.10(3.10a)考虑圆轴的特点,在一定长度上,扭矩、直径是常量考虑圆轴的特点,在一定长度上,扭矩、直径是常量当圆轴是阶梯轴时当圆轴是阶梯轴时(3.10b)(3.10c)(3.10a)3-4 圆轴扭转时的应力和变形(1 1)相对扭转角)相对扭转角2.2.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3-5 3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算第三章 扭转当当令:令:1.1.强度计算强度计算3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算横截面上最大切应力公式横截面上最大切应力公式式中:式中:横截面上的扭矩横截面上的扭矩 抗扭截面系
21、数(抗扭截面系数(m3 3)(3.11)(3.12)横截面切应力公式横截面切应力公式(1 1)最大切应力)最大切应力(2 2)强度条件)强度条件式中:式中:3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算横截面上的扭矩横截面上的扭矩抗扭截面系数抗扭截面系数(3.13)许用切应力许用切应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料1.1.强度计算强度计算(3 3)抗扭截面系数)抗扭截面系数3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面(3.13)(3.14)(3.15)其中:其中:(2 2)强度条件)强度条件强度条件强度条件 校核强度校核强度 设计截面尺寸设计截面尺寸 计算许可载荷计算许可载
22、荷3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算1.1.强度计算强度计算三类计算:三类计算:(1 1)单位长度扭转角)单位长度扭转角或或GIp 抗扭刚度抗扭刚度3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算2.2.刚度计算刚度计算 GIp 反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度的抗扭刚度.T 扭矩扭矩其中:其中:或或 称为许用单位扭转角称为许用单位扭转角精密稳定传动中精密稳定传动中一般传动中一般传动中精度要求不高的传动中精度要求不高的传动中3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算(3.16)(3.17)(2 2)刚度条件)刚度条件2.2.刚度计算刚度计算例例3-33-33-5
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- 第三 扭转
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