微分方程第三节可降阶的高阶微分方程.ppt
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1、第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程一一 型的微分方程型的微分方程 二二 型的微分方程型的微分方程 三三 型的微分方程型的微分方程 1 1第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一、一、令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分,可得含可得含 n 个任意
2、常数的通解个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 2 2第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例1.解解:3 3第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例2.质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻随着时间的增大随着时间的增大,此力此力 F 均匀地减均匀
3、地减直到直到 t=T 时时 F(T)=0.如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点,解解:据题意有据题意有t=0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数:F=F(t).小小,求质点的运动规律求质点的运动规律.初初速度为初初速度为0,且且对方程两边积分对方程两边积分,得得 4 4第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程利用初始条件利用初始条件于是于是两边再积分得两边再积分得再利用再利用故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为5 5第三节第三节第三节第三
4、节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程型的微分方程型的微分方程 设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得则得再一次积分再一次积分,得原方程的通解得原方程的通解二、二、6 6第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例3 3 求微分方程求微分方程的通解。的通解。解解 令令代入微分方程得代入微分方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所
5、以所以即即再次积分得通解再次积分得通解7 7第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例4 求解求解解解令令原方程变为原方程变为由由得得所以所以再次积分得再次积分得由由得得所以所求解为所以所求解为8 8第三节第三节第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例5 设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索绳索仅受重力的
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