通信原理:卷积简单介绍.docx
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1、简单介绍编辑1卷积是分析数学中一种重要的运算。设:/(N)g(i)是脓上的两个可积函数,作积分:f(T)g(x-T)dTJ Xi可以证明,关于几乎所有的N G (-00,00),上述积分是存在的。这样,随着7的不 同取值,这个积分就定义了一个新函数h(1),称为函数/与g的卷积,记为无3) = (/ g)(矶 我们可以轻易验证:(f * g)(i) = (g * /)(,并且 (/* g)(i)仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,乙|(冗1)空间是一个代数, 甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的 傅里叶变换,利用此一性质,能简化傅里
2、叶分析中的许多问题。由卷积得到的函数/ * g一般要比/和g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数,/为 局部可积时,它们的卷积/ * g也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数/, 都可以简单地构造出一列逼近于/的光滑函数列九,这种方法称为函数的光滑化或正则 化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。定义编辑1函数f与。的卷积记作/ *它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的 积分,是一个对平移量的函数。(/* g)(t) = /- T)dr积分区间取决于f与g的定义域。对于定义在离散域的函数,卷积定义为(f *g)m = /同gm - n图解卷积.首先将两个函数都
3、用 7来表示o1 .对其中一个函数做水 平翻转:。一g(f).2 .加上一个时间偏移量, 让g(t 一 -)能沿着丁轴滑动。3 .让t从滑动到+8。 两函数交会时,计算 交会范围中两函数乘 积的积分值。换句话 说,我们是在计算一 个滑动的的加权平均 值。也就是使用g(一 丁) ,当做加权函数,来对/(7)取加权平均值。最后得到的波形(未包 含在此图中)就是,和 g的卷积。如果f (力是一个单位脉 在,我们得到的乘积就是 g (f)本身,称为冲激响 应。计算卷积的方法缄辑当为有限长度N,为有限长度A7的信号,计算卷积/网*。网有三种主要的方法,分别为1 .直接计算(Direct Method)
4、2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积(sectionedconvolution) o方法1是直接利用定义来计算卷积,而方法2和3都是用到了 FFT来快速 计算卷积。也有不需要用到FFT的作法,如使用数论转换。方法1直接计算编辑作法:利用卷积的定义A/-1yn = fn*gn = fn- mgmm=0若/何和皆为实数信号,则需要a/n个乘法。 若和皆为更一般性的复数信号,不使用复数乘法的快速算法,会需要个乘法;但若使用复数乘法的快速算法,则可简化至3A/A7个乘法。因此,使用定义直接计算卷积的复杂度为方法2快速傅里叶转换(FFT)编辑I 概念:由于两个离散信号在时域(time domain
5、)做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域(frequency domain)做相乘:切用=/n * gn Yf = FfGf,可以看出在频域的计算较简单。 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域:Flf = DFTPfnGf = DFTP(gn),于是yf = DFTP(fn)DFTP(gn),最后再将频域信号转回时域,就完成了卷积的计算:yn = IDFTPDFTP(fn)DFTP(gn)总共做了 2次DFT和1次IDFT。特别注意DFT和IDFT的点数尸要满足P M + N - lo由于DFT有快速算法FFT,所以运算量为(P lg2 0) 假设尸点DFT的乘法量为a,和gH为
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