厦门大学《应用多元统计分析》第10章 多维标度法.ppt
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1、第十章 多维标度法 第一节第一节 引引 言言 第二节第二节 古典多维标度法古典多维标度法(Classical MDS)第三节第三节 权重多维标度权重多维标度(WMDS)第四节第四节 实例分析与计算实现实例分析与计算实现 第一节第一节 引引 言言n在实际中我们会经常遇到这些的问题,给你一组城市,你总在实际中我们会经常遇到这些的问题,给你一组城市,你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离,你能否确定这些城市之间的相对位置呢?假定你市的距离,你能否确定这些城市之间的相对位置呢?假定你知道只是哪两个城市最近,哪两个城市次近等等
2、,你是否还知道只是哪两个城市最近,哪两个城市次近等等,你是否还能确定它们之间的相对位置呢?假定通过调查了解了能确定它们之间的相对位置呢?假定通过调查了解了10种饮种饮料产品在消费者心中的相似程度,你能否确定这些产品在消料产品在消费者心中的相似程度,你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢?在实际中我们常常会遇到类费者心理空间中的相对位置呢?在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。似这样的问题。n多维标度法(多维标度法(Multidimensional Scaling)就是解决这类问题)就是解决这类问题的一种方法,它是一种在低维空间展示的一种方法,它是一种在低维空间展示“距离距离”数据结构
3、的数据结构的多元数据分析技术,简称多元数据分析技术,简称MDS。n多维标度法起源于心理测度学,用于理解人们判断的相似性。多维标度法起源于心理测度学,用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了拓展了Richardson及及Klingberg等人在三、四十年等人在三、四十年代的研究,具有突破性地提出了多维标度法,后经代的研究,具有突破性地提出了多维标度法,后经 Shepard和和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领
4、域的数据分析方法。学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。n多维标度法解决的问题是:当多维标度法解决的问题是:当n个对象(个对象(object)中各对对象)中各对对象之间的相似性(或距离)给定时,确定这些对象在低维空间之间的相似性(或距离)给定时,确定这些对象在低维空间中的表示(感知图中的表示(感知图Perceptual Mapping),并使其尽可能与),并使其尽可能与原先的相似性(或距离)原先的相似性(或距离)“大体匹配大体匹配”,使得由降维所引起,使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象,因此点间的距离
5、与对象间的相似性高度相关。也就是对象,因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说,两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示,说,两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示,而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间,但也可以是非欧氏多维空间通常为二维或三维的欧氏空间,但也可以是非欧氏三维以上空间。三维以上空间。n多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性(距离)数据测多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性(距离)数据测量尺度的不同量尺度的不同MDS可分为:度量可分为:度量MDS和非度量和
6、非度量MDS。当利。当利用原始相似性(距离)的实际数值为间隔尺度和比率尺度时用原始相似性(距离)的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量称为度量MDS(metric MDS),当利用原始相似性(距离)的,当利用原始相似性(距离)的等级顺序(即有序尺度)而非实际数值时称为非度量等级顺序(即有序尺度)而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性(距离)矩阵的个数和。按相似性(距离)矩阵的个数和MDS模型的性质模型的性质MDS可分为:古典多维标度可分为:古典多维标度CMDS(一个(一个矩阵,无权重模型)、重复多维标度矩阵,无权重模型)、重复多维标度Replicated MD
7、S(几个(几个矩阵,无权重模型)、权重多维标度矩阵,无权重模型)、权重多维标度WMDS(几个矩阵,权(几个矩阵,权重模型)。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标重模型)。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。度法。第二节第二节 古典多维标度法古典多维标度法 (Classical MDS)一一 相似与距离的概念相似与距离的概念 二二 古典多维标度分析的思想及方法古典多维标度分析的思想及方法 三三 度量度量MDS的古典解的古典解 四四 非度量非度量MDS的古典解的古典解(nonmetric MDS)n首先我们提出这样一个问题,表首先我们提出这样一个问题,表10.1是美国十城市之间的
8、飞是美国十城市之间的飞行距离,我们如何在平面坐标上据此标出这行距离,我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相城市之间的相对位置,使之尽可能接近表中的距离数据呢?对位置,使之尽可能接近表中的距离数据呢?表表10.1 美国美国10城市间的飞行距离城市间的飞行距离 一、相似与距离的概念一、相似与距离的概念n在解决上述问题之前,我们首先明确与多维标度法相关的数在解决上述问题之前,我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。据概念。1相似数据与不相似数据相似数据与不相似数据 相似数据:如果用较大的数据表示非常相似,用较小的相似数据:如果用较大的数据表示非常相似,用较小的数据表示非常不相似,则数据为相似
9、数据。如用数据表示非常不相似,则数据为相似数据。如用10表示表示两种饮料非常相似,用两种饮料非常相似,用1表示两种饮料非常不相似。表示两种饮料非常不相似。不相似数据:如果用较大的数值表示非常不相似,较小不相似数据:如果用较大的数值表示非常不相似,较小的数值表示非常相似,则数据为不相似数据,也称距离的数值表示非常相似,则数据为不相似数据,也称距离数据。如用数据。如用10表示两种饮料非常不相似,用表示两种饮料非常不相似,用1表示两种饮表示两种饮料非常相似。料非常相似。2距离阵距离阵 定义定义10.1 一个一个n n阶的矩阵阶的矩阵D=(dij)n n,如果满足条件:,如果满足条件:n在进行多维标度
10、分析时,如果数据是多个分析变量的原始数在进行多维标度分析时,如果数据是多个分析变量的原始数据,则要根据聚类分析中介绍的方法,计算分析对象间的相据,则要根据聚类分析中介绍的方法,计算分析对象间的相似测度;如果数据不是广义距离阵,要通过一定的方法将其似测度;如果数据不是广义距离阵,要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。二、古典多维标度分析的思想及方二、古典多维标度分析的思想及方 法法n n n n n n n这里需要特别注意,并非所有的距离阵都存在一个这里需要特别注意,并非所有的距离阵都存在一个r维的欧维的欧氏空间和氏空间和n个点,使得个点
11、,使得n个点之间的距离等于个点之间的距离等于D。因而,并不。因而,并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵,还存在非欧氏距离阵。是所有的距离阵都是欧氏距离阵,还存在非欧氏距离阵。n当距离阵为欧氏时,可求得一个当距离阵为欧氏时,可求得一个D的构图的构图X,当距离阵不是,当距离阵不是欧氏时,只能求得欧氏时,只能求得D的拟合构图。在实际应用中,即使的拟合构图。在实际应用中,即使D为为欧氏,一般也只求欧氏,一般也只求r=2或或3的低维拟合构图。的低维拟合构图。n值得注意的是,由于多维标度法求解的值得注意的是,由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们个点仅仅要求它们的相对欧氏距离与的相对欧氏距离与D相近,也就是说
12、,只与相对位置相近而相近,也就是说,只与相对位置相近而与绝对位置无关,根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的与绝对位置无关,根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变性,显然所求得解并不唯一。不变性,显然所求得解并不唯一。三、度量三、度量MDS的古典解的古典解n (4)根据()根据(10.7)式计算)式计算 ,得到,得到r维拟合构图(简称古典维拟合构图(简称古典解)。解)。这里需要注意,如果这里需要注意,如果i i中有负值,表明中有负值,表明D是非欧氏型是非欧氏型的。的。(一)已知距离矩阵的(一)已知距离矩阵的CMDS计算计算n以前述美国以前述美国10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标城市间
13、的飞行距离数据来说明古典度量多维标度法的计算过程。度法的计算过程。n表表10.1美国美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明距离越远,数值越小表明距离越短,符合广义距离阵的定义,距离越远,数值越小表明距离越短,符合广义距离阵的定义,又只涉及一个距离阵,因此为度量又只涉及一个距离阵,因此为度量CMDS。n根据上述度量古典根据上述度量古典CMDS的计算方法,首先可求得内积矩阵,的计算方法,首先可求得内积矩阵,结果见表结果见表10.2。表表10.2 美国美国10城市内城市内积积矩矩阵阵 n n10个城市的坐标分别为:个城市的坐标分别为:(-718.75
14、9,142.9942),(),(-382.056,-340.84),),(481.602,-25.285),(),(-161.466,572.77),(),(1203.738,390.100),(),(-1133.53,581.907),(),(1072.24,-519.024),(),(1420.603,112.589),(),(1341.723,-579.739),(),(-979.622,-335.473)。)。n计算结果表明,较大的特征值有两个,说明在二维平面上表计算结果表明,较大的特征值有两个,说明在二维平面上表示示10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零,表城市间的相对位置
15、是合适的。由于有特征值小于零,表明距离阵不是欧氏型,其结果为拟合构图。在此,城市是明距离阵不是欧氏型,其结果为拟合构图。在此,城市是“对象对象”,飞行里程是,飞行里程是“相似性相似性”。图。图10.1给出了给出了MDS反映美反映美国国10座城市相对位置的感知图。图中的座城市相对位置的感知图。图中的10个点,每个点代表个点,每个点代表一个城市,相近的点代表飞行距离短的城市,相距较远的点一个城市,相近的点代表飞行距离短的城市,相距较远的点代表飞行距离远的城市。代表飞行距离远的城市。图图10.1 10城市坐标感知图城市坐标感知图 n n n相关系数的值越大,表示课程越相似,相关系数值越小,表相关系数
16、的值越大,表示课程越相似,相关系数值越小,表明课程越不相似,显而易见,相关系数矩阵为相似系数矩阵,明课程越不相似,显而易见,相关系数矩阵为相似系数矩阵,记为记为C。表表10.3 6门课程相关系数阵门课程相关系数阵 n根据变换(根据变换(10.8)式可得到距离阵)式可得到距离阵D,见表,见表10.4。在此基础上,。在此基础上,根据(根据(10.5)式得到内积矩阵)式得到内积矩阵B,具体结果见表,具体结果见表10.5。表表10.4 距离距离阵阵D n 表表10.5 内内积积矩矩阵阵 n从结果知距离阵从结果知距离阵D不是欧氏型,我们取不是欧氏型,我们取r=2,由(,由(10.7)式求)式求得得D的古
17、典解,结果如下:的古典解,结果如下:n图图10.2大体反映了这六门课程的基本结构,从图中可以直观大体反映了这六门课程的基本结构,从图中可以直观的看出,算术、代数、几何较为相近,英语和盖尔语较为相的看出,算术、代数、几何较为相近,英语和盖尔语较为相近,而历史课程与其他课程的差异性较大。近,而历史课程与其他课程的差异性较大。图图10.2 六门课程的古典解感知图六门课程的古典解感知图 四、非度量四、非度量MDS的古典解的古典解(nonmetric MDS)n在实际问题中,我们涉及更多的是不易量化的相似性测度,在实际问题中,我们涉及更多的是不易量化的相似性测度,如两种颜色的相似性,虽然我们可以用如两种
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