随机微分方程欧拉格式算法分析_郭小林.pdf
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1、 收稿日期 2005-02-28 基金项目 安徽省高等学校自然科学研究项目(2005KJ051)第 22 卷第 3 期大 学 数 学Vol.22,l.32006 年 6 月COLLEGE MAT HEMAT ICSJun.2006随机微分方程欧拉格式算法分析郭小林(安徽财经大学 计算机系,蚌埠 233041)摘 要 首先给出了线性随机微分方程的欧拉格式算法,然后给出了非线性随机微分方程变步长的欧拉格式算法,接着讨论了其对初值的连续依赖性和收敛性.关键词 随机微分方程;欧拉格式;对初值的连续依赖性;收敛性中图分类号 O211163 文献标识码 A 文章编号 1672-1454(2006)03-0
2、094-061 引 言随机微分方程在描述现象中起着重要的作用.当使用随机微分方程解决问题时,我们常常是先把随机微分方程离散化为随机差分方程,然后利用随机差分方程进行计算或模拟.在所有离散化的方法中,欧拉格式是最基本且最重要的一种 1-7.在文 3 中,Vlad Bally 和 Denis Talay 研究了关于随机微分方程dxt=b(xt)dt+R(xt)dwt的欧拉格式,其算法格式为xn(p+1)h=xnph+b(xnph)h+R(xnph)(w(p+1)h-wph),其中 h 为固定步长,p=0,1,2,.当 p h t (p+1)h 时,xnt被定义为xnt=xnph+b(xnph)(t
3、-ph)+R(xnph)(wt-wph),其中 wt是布朗运动.在文 7 中,Norbert Hofmann 给出了随机微分方程(1)的欧拉格式yn+1=yn+a(tn,yn)h+b(tn,yn)hNn,其中 h 是固定步长,Nn满足 P(Nn=?1)=12,且当 i X j 时,Ni与Nj相互独立,i,j=1,2,n.然而,维纳过程不能用一个两点分布很好地近似,因此,在本文中,我们将给出变步长的欧拉格式.下文结构如下:在第二节中给出线性随机微分方程的欧拉格式;第三节中给出非线性随机微分方程的变步长欧拉格式.2 线性随机微分方程的欧拉格式考虑线性随机微分方程dxt=a(t)xt+f(t)dt+
4、b(t)xt+g(t)dBt,(1)其中 a(t),b(t),f(t)和 g(t)均可积,Bt为一维布朗运动,则其欧拉格式为ytn+1=ytn+a(tn)ytn+f(tn)h+b(tn)ytn+g(tn)hNn,(2)其中 Nn N(0,1)满足:当 i X j 时,Ni与Nj相互独立,对任意 nI N,h S$tn=tn+1-tn.定理 1 对于线性随机微分方程(1)和其欧拉格式(2),我们有:当 h y0 时,E(ytn)y E(xtn)且E(y2tn)yE(x2tn).证 由d(e-Qa(t)dtxt)=e-Qa(t)dt(dxt-a(t)xtdt)=e-Qa(t)dt f(t)dt+(
5、b(t)xt+g(t)dBt,得e-Qtt0a(s)dsxt=x0+Qtt0e-Qst0a(z)dzf(s)ds+Qtt0e-Qst0a(z)dz b(s)xs+g(s)dBs,其中 x0=xt0.因此,xt=eQtt0a(s)dsx0+Qtt0e-Qst0a(z)dzf(s)ds+Qtt0e-Qst0a(z)dz b(s)xs+g(s)dBs.(3)由(3)得E(xt)=eQtt0a(s)dsE(x0)+Qtt0eQtsa(z)dzf(s)ds和E(x2t)=e2Qtt0a(s)dsE(x20)+Qtt0e-Qst0a(z)dzf(s)ds2+Qtt0e-2Qst0a(z)dz b2(s)E
6、(x2s)+2b(s)g(s)E(xs)+g2(s)ds+2Qtt0e-Qst0a(z)dzf(s)dsE(x0).令 h(t)=e-Qtt0a(s)ds,yt=h2(t)E(x2t),则yt=y0+Qtt0h(s)f(s)ds2+Qtt0b2(s)ysds+2E(x0)Qtt0h(s)b(s)g(s)ds +2Qtt0h(s)b(s)g(s)Qst0h(z)f(z)dz+Qtt0h2(s)g2(s)ds+2E(x0)Qtt0h(s)f(s)ds.记G(t)=Qtt0h(s)f(s)ds2+2E(x0)Qtt0h(s)b(s)g(s)ds+2Qtt0h(s)b(s)g(s)Qst0h(z)f(
7、z)dz+Qtt0h2(s)g2(s)ds+2E(x0)Qtt0h(s)f(s)ds,则 yt=y0+Qtt0b2(s)ysds+G(t),因此dytdt=b2(t)yt+Gc(t),其中Gc(t)=h2(t)2f(t)Qtt0eQtsa(z)dzf(s)ds+2E(x0)b(t)g(t)eQtt0a(s)ds+2b(t)g(t)Qtt0eQtsa(z)dzf(s)ds+2E(x0)f(t)eQtt0a(s)ds+g2(t).进一步,我们可以得到yt=eQtt0b2(s)dsQtt0Gc(s)e-Qst0b2(z)dzds+c,因此E(x2t)=eQtt02a(s)+b2(s)dsQtt0Gc
8、(s)e-Qst0b2(z)dzds+c.由 E(x20)=c 得E(x2t)=eQtt02a(s)+b2(s)dsQtt0Gc(s)e-Qst0b2(z)dzds+E(x20),因此E(x2tn)=2E(x0)Qtnt0 b(t)g(t)+f(t)eQtt0a(s)ds#eQtnt2a(s)+b2(s)ds95第 3 期 郭小林:随机微分方程欧拉格式算法分析+2Qtnt0 b(t)g(t)+f(t)Qtt0f(s)eQtsa(z)dzds#eQtnt 2a(s)+b2(s)dsdt+Qtnt0g2(t)eQtnt 2a(s)+b2(s)dsds+E(x20)eQtnt0 2a(s)+b2(s
9、)dt.根据欧拉格式(2)得E(ytn+1)=Fni=0 1+a(ti)h#E(x0)+Enk=0f(tk)h#Fni=k+1 1+a(ti)h,故,当 hy0时,E(ytn)y E(x0)eQtnt0a(s)ds+Qtnt0f(s)eQtnsa(z)dzds=E(xtn).因此,E(y2tn+1)=(1+a(tn)h)2+b2(tn)h#E(y2tn)+2b(tn)g(tn)+f(tn)(1+a(tn)h)h#E(ytn)+f2(tn)h+g2(tn)h=(1+a(tn)h)2+b2(tn)h#E(y2tn)+2b(tn)g(tn)+f(tn)(1+a(tn)h)h#Fn-1i=0 1+a(
10、ti)h#E(x0)+En-1k=0f(tk)h#Fn-1i=k+1 1+a(ti)h+f2(tn)h+g2(tn)h=E(x20)#Fnk=0 1+(2a(tk)+b2(tk)h+a2(tk)h2+Enk=0 f(tk)+2b(tk)g(tk)+f(tk)g(tk)hE(x0)Fk-1i=0(1+a(ti)h)+Ek-1i=0(f(ti)Fk-1j=i+1(1+a(tj)h h)+g2(tk)+f2(tk)hh#Fni=k+1(1+2a(ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2)=E(x20)#Fnk=0 1+(2a(tk)+b2(tk)h+a2(tk)h2+E(x0)Enk=0 2f(tk
11、)+2b(tk)g(tk)Fk-1i=0 1+a(ti)h#Fni=k+1 1+2a(ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2h+Enk=0 2f(tk)+2b(tk)g(tk)Eki=0f(ti)Fk-1j=i+1 1+a(tj)h#Fni=k+1 1+2a(ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2+Enk=0g2(tk)Fni=k+11+2a(ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2 h+F(h),其中F(h)=Enk=0o(h)#E(x0)Fk-1i=0 1+a(ti)h+Ek-1i=0f(ti)Fk-1j=i+1 1+a(tj)h h+g2(tk)+o(h)h#Fni=k+11+2a(
12、ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2+Enk=0 2f(tk)+2b(tk)g(tk)#o(h)#Fni=k+11+2a(ti)+b2(ti)h+a2(ti)h2 h.易证得:当 h y0 时,F(h)y0.因此,当 hy0 时,E(y2tn)y 2E(x0)Qtnt0 b(t)g(t)+f(t)eQtt0a(s)ds#eQtnt2a(s)+b2(s)ds+2Qtnt0 b(t)g(t)+f(t)Qtt0f(s)eQtsa(z)dzds#eQtnt 2a(s)+b2(s)dsdt96大 学 数 学 第 22 卷+Qtnt0g2(t)eQtnt 2a(s)+b2(s)dsds+E(x20)e
13、Qtnt0 2a(s)+b2(s)dt=E(x2tn).3 非线性随机微分方程的欧拉格式考虑随机微分方程dxt=a(t,xt)dt+b(t,xt)dwt,(4)其中 wt为r 维布朗运动.下文中总是假定随机微分方程(4)有唯一解.对于随机微分方程(4),欧拉格式为ytn+1=ytn+a(tn,ytn)$tn+b(tn,ytn)(wtn+1-wtn),其中 wt是布朗运动,因此,wtn+1-wtn N(0,tn+1-tn).令$tnNn=wtn+1-wtn,则$tnNn N(0,tn+1-tn),因此 Nn N(0,1).由 wt是布朗运动得当 i Xj 时 Ni和 Nj相互独立,故我们有下述结
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