2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型【含答案】.docx
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1、2020中考常见最值问题总结归纳微专题一:单线段最值+单动点型WORKING PLAN类型二:动点轨迹一或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点 到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求 解。确定动点轨迹为或者圆弧型的方法:(1)动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧。(2)当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆,具体运 用如下;见直角,找斜边,想直径,定外心,现圆形见定角,找对边,想周角,转心角,现圆形【典例精析】例题1.如图,点。在半圆。上,半径08 = 5, AD = 49点。在弧3。上移动,连接/C
2、, 作DH_L4C,垂足为,连接5,点C在移动的过程中,5的最小值是.2V22-2【详解】如图,设AD的中点为点E,则4 = 。=,40 =,义4 = 2 22由题意得,点H的运动轨迹在以点E为圆心,EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得:连接BE,与圆E交于点H,则此时3取得最小值,EH=2连接BDAB为半圆0的直径.AADB = 90. BD = JAB2-AD2 = 7(5 + 5)2-42 = 2721.BE = 7 RD2 + ED2 = 7(2V2?)2+22 = 2722:.BH = BE-EH = 2y/22-2【针对训练】1.(江阴市)如图,长方形ABCD中,AB=6, BC=
3、4,在长方形的内部以CD边为斜边任意作RtACDE,连接AE,则线段AE长的最小值是.详解:如图,点在以点F为圆心,。尸为半径的圆上运动,当A,E,F三点共线时,AE值最小,OF=! x6=3,在长方形ABC。中,AD=BC=49由勾股定理得: 2AF= 4 AD1 + DF2 = a/42 +32 =5.V EF=-CD=-x6=3, :.AE=AF- EF=5 - 3=2,即线段 AE 长的最小值是 2.22故答案为2.2. (陕西省中考模拟)如图,在矩形力笈。中,AB=494。=6, 是边的中点,尸是 线段上的动点,将AEB尸沿E/所在直线折叠得到AEBR 连接O,则O的最小 值是 .2
4、丽-2.【详解】如图所示点夕在以为圆心 现 为半径的圆上运动,当。、B石共线时,夕。的值最小, 根据折叠的性质,EBFQAEBF,:/B=/EBH EBEB.;后是43边的中点,AB=4,:AE=EB,=2.9:AD=69 =面+22 =2而,,笈。=2丽一2.3. (,湖南省)如图,RtZZ5C 中,AB 上 BC, AB = 6, BC = 4,。是内部的 一个动点,且满足/产力8 + /尸诩= 90,则线段长的最小值为.2:【详解】VZPAB+ZPBA=90A ZAPB=90点P在以AB为直径的弧上(P在ABC内)设以AB为直径的圆心为点0,如图接OC,交OO于点P,此时的PC最短VAB
5、=6,AOB=3? BC=4 OC = yOB2+BC2 =a/32 +42 =5,PC=5-3=2(河南省)如图,在RtA48C中,ZC = 90,AC = 4, BC = 3,点。是A8的三等分点,半圆。与AC相切,/W, N分别是8c与半圆弧上的动点,则MN的最小值和最大值之和是()A. 5B. 6C. 7D. 8B【详解】如图,设。与AC相切于点D,连接OD,作垂足为P交。于F,此时垂线段。最短,PF最小值为。P-。尸,V AC = 4, BC = 3,:.AB = 5丁 ZOPB = 90, OPAC点。是A8的三等分点,OB = x 5 =310 OP OB 23 AC AB 3.
6、OP = - 。0与ZC相切于点。,:.OD1AC, OD II BC,OD OA 1 ,BC AB 3。=1,o5M/V最小值为OP 。b二 1 二, 33如图,当N在AB边上时,M与8重合时,M/V经过圆心,经过圆心的弦最长,日一士 10 I 13MN 取大值=1-1 = 一 ,335 13 , _ + =6,3 3:.MN长的最大值与最小值的和是6.故选B.5. (2017贵州中考真题试卷)如图,在矩形纸片A8CD中,AB = 2, 40 = 3,点E是AB 的中点,点F是4。边上的一个动点,将沿EF所在直线翻折,得到则4C 的长的最小值是( )BA.A.V13B. 3C. 713-1d
7、. Vio-i【详解】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A在线段CE上时,AC的长取最小值,如图所示,根据折叠可知:AE = AE =,AB = 1.2在 RtaBCE 中,BE =,AB = 1, BC = 3, 4B = 90。, 2. CE = Vbe2 + bc2 = Vw,.A!C的最小值=CE AE =丽一 1.故选D.6.(山东省中考模拟)如图,在 RtZkABC 中,ZABC= 9009 ZACB=30f 8c=20 , /ADC 与ABC关于AC对称,点、F分别是边OC、BC上的任意一点,且D=CF, BE、DF相交于点P,则CP的最 小值为()A. 1 B.
8、V3 C. 1d. 2D【详解】连接 AD,因为NACB = 30。,所以NBCO = 60。,因为CB = CD,所以CB。是等边三角形,所以BD = DC.因为 0E=CF, ZEDB=ZFCD = 609所以EDBgZXFCD,所以/EB0=NFDC,因为 NFDC+ ZBDF=60,所以NEBD+NBDF=60,所以NBPD = 120,所以点P在以人为圆心,八。为半径的弧8。上,直角ABC 中,ZACB = 30 BC=2y3,所以 43 = 2, 47=4,所以AP=2.当点4 P,。在一条直线上时,CP有最小值,CP的最小值是AC-AP=42 = 2.故选D.7.(2017四川中
9、考真题试卷)如图,在。中,直径CD垂直于不过圆心。的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上,且AE=CE.(1)求证:AC2=AE*AB;(2)过点B作。的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等,并说明理由;(3)设。O半径为4,点N为OC中点,点Q在。O上,求线段PQ的最小(1)证明见解析;(2) PB=PE; (3) “J21T23【详解】(1)如图 1,连接 BC,CD 为。的直径,AB_LCD,品C=q。,二NABC, TEOAE,二次函数最值公式法夹逼法一元二次方程判别式法函数最值最值问题几何最值一元二次方程配方法设X,构造函数法利用一次函数增减性,确定最值单线段最值
10、双线段最值轨迹直线型单动点型双动点型PA+PB 型PA+K*PB 型PA-PA 型三线段最值费马点模型 轨迹圆或圆弧型轨迹不确定型利用等量代换转化利用和差关系转化利用勾股定理转化利用三角形边角关系转化两定一动两定两动一定两动胡不归模型阿氏圆模型同侧差值最大异侧差值最大AC AE 0ZA=ZACE, A ZABC=ZACE, VZA=ZA, A AAECAACB, A =,AAC2=AE*AB;AB AC(2) PB=PE,理由是:如图 2,连接 OB, .PB 为。的切线,AOBPB, A ZOBP=90, A ZPBN+ZOBN=90,VZOBN+ZCOB=90, A ZPBN=ZCOB,
11、V ZPEB=ZA+ZACE=2ZA, ZC0B=2ZA,A ZPEB=ZCOB, AZPEB=ZPBN,.PB=PE;(3)如图 3, YN 为 OC 的中点,ON=-OC=-OB, RtZOBN 中,ZOBN=30, AZCOB=60,22VOC=OB, OCB为等边三角形,Q为。任意一点,连接PQ、0Q,因为0Q为半径, 是定值4,则PQ+OQ的值最小时,PQ最小,当P、Q、。三点共线时,PQ最小,Q为0P 与。的交点时,PQ 最小,ZA=i ZCOB=30, AZPEB=2ZA=60, ZABP=90 - 30=60, 2PBE 是等边三角形,RtZkOBN 中,BN=2_22 =25
12、: AB=2BN=4招,设 AE=x,则CE=x,EN=2道 - x,RtZXCNE 中,丁=22十(2/2,-g争竽,RtZXOPB 中,0P二府+OB) “呼)2+4?=殍.PQ.坦7.迪士33.PQ.坦7.迪士33则线段PQ的最小值是38.(2017浙江中考真题试卷)如图,过抛物线丁=工,-2”上一点A作工轴的平行线,交4抛物线于另一点B,交串轴于点C,已知点A的横坐标为一2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;连结BD,求BD的最小值;当点D落在抛物线的对称轴上,且在“轴上方时,求直线PD的函数表达oo 425(l)x=
13、4; B (10, 5). (2) 5袤一5 . y二X+ .33【详解】-2(1)由题意A ( - 2, 5),对称轴x=- f =4,2 X -4,: A、B关于对称轴对称,AB (10, 5).(2)如图1中,由题意点D在以0为圆心0C为半径的圆上,当。、D、B共线时,BD的最小值=0B - 0D=正+102 -5=5-5如图2中,图2当点D在对称轴上时,在RtZODE中,0D=0C=5, 0E=4, DE=力如=五一甲=3, 点D的坐标为(4, 3).设 PC=PD=X,在 RtPDK 中,x2= (4 - x) 2+22,425直线PD的解析式为y=- -x+.33类型三:动点轨迹一
14、不确定型考法指导动点轨迹非圆或直线时,基本上将此线段转化为一个三角形中,(1)利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求最值。(2)在转化较难进行时,可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建 全等图形进一步转化求最值。【典例精析】例题1.(如皋市)如图.已知。的半径为3, 0A = 8f点P为。上一动点.以力为边作等边则线段0M的长的最大值为()A. 9B. 11C. 12D. 14B【详解】解:如图,以0P为边向下作等边POH,连接AH,VAPOH, /XPAM都是等边三角形,.PH=PO, PA=PM, ZPHO=ZAPM=60,ZHPA=ZOPM,.HPAAOPM (SAS),
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