高等数学课件详细.ppt
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1、一、问题的提出一、问题的提出实例实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量2.存在条件:存在条件:3.推广推广注意:注意:4.性质性质 三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理注意注意:特殊情形特殊情形推广推广:例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解 由对称性由对称性,知知四、几何与四、几何与物理意义物理意义五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分
2、的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗?可能为负吗?思考题解答思考题解答的符号永远为正,它表示弧段的长度的符号永远为正,它表示弧段的长度.练习题练习题练习题答案练习题答案一、问题的提出一、问题的提出实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义类似地定义类似地定义2.存在条件:存在条件:3.组合形式组合形式
3、4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算定理定理特殊情形特殊情形(4)两类曲线积分之间的联系:两类曲线积分之间的联系:其中其中(可以推广到空间曲线上(可以推广到空间曲线上 )可用向量表示可用向量表示有向曲线元;有向曲线元;例例1解解例例2解解问题问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例3解解问题问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同路径不同而
4、积分结果相同.四、小结四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 设空间区域设空间区域G,如果如
5、果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G,则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域;如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面,则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域.GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通二、格林公式二、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证y
6、xodDcCE证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知xyoL1.1.简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简单应用AB 2.2.简化二重积分简化二重积分xyo解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)3.3.计算平面面积计算平面面积解解四、小结四、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;若区域若区域 如图为如图为复连通域,试描述格复连通域,试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题
7、思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界:边界:内内边界:边界:Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域如果在区域G内有内有二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明:有关定理的说明:三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积定理定理3 3解解解解四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、概念的引入一、概念的引入实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有
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