第二章 控制系统的数学模型1.ppt
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1、第二章 控制系统的数学模型教学目的通过本章学习使同学们加深理解:所谓数学模型(Mathematical models)就是用数学表达式来描述的实物控制系统这个基本概念。了解对于同一个控制系统,由于所取的变量不同,其模型形式也不同,并使同学们掌握如何建立控制系统的数学模型的方法。教学重点与教学学时1、复域模型传递函数(Transfer function)2、传递函数的零、极点对系统性能的影响3、三种数学模型的相互转换5、教学学时:三次课共6个学时。教学内容 1、时域模型:本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解如何建立数学模型。由于有关电机拖动的课还未讲到电机模型内容,故本章中有关电动机模型只
2、介绍结论,不详细推导。2、时域模型微分方程求解,简单讲解复习微分方程求解方法 3、非线性系统的线性化,重点讲清楚线性化的条件,以及如何线性化(泰勒展开式)教学内容 4、复域模型:重点介绍传递函数的概念,通过例题复习如何用拉普拉斯变换求解系统。5、对比时域系统的解,讲解传递函数的极点对系统性能的影响。6、介绍典型环节的传递函数 7、系统的信号流图和梅逊(Meson)公式 8、结构图及化简 9、闭环系统的传递函数和误差传递函数 10、自学读书内容:数学模型测定方法。第二章第一次课:时域模型 一、通过一个电学、力学系统讨论如何建立数学模型,并总结建立数学模型的一般步骤:1、确定输入,输出变量 2、根
3、据元件本身所遵循的客观运动规律,列写运动方程 3、消除中间变量 二、复习拉普拉斯变换的几个定理,用拉氏变换求解微分方程 三、非线性元件的线性化问题。作业:1、复习本课内容;2、预习复域模型;3、2326思考题:2128第二章第二次课:复域模型 一、传递函数的定义:要点:线性定常系统,零初始条件 二、传递函数的性质:1、是复变量s的真分式,具有复变函数的性质,系数为实数 2、只取决于系统或元件的结构和参数,与输入量的形式无关,只反映系统输出量与输入量之的关系 3、传递函数与微分方程的关系 4、传递函数的拉氏变换是脉冲响应g(t)三、函数的零、极点对输出的影响第二章第一次课:复域模型自学:1、典型
4、环节的传递函数 2、例题212(a),如何求系统的传递函数作业:1、复习复域模型内容2、预习23控制系统结构图3、210211(1)212(6)思考题:p37 两相伺服电机模型建立P38单容槽模型建立p40双容水槽模型建立第二章第三次课:结构图 1、结构图的组成 2、如何建立系统的结构图,以p42例211为例讲解如何建立系统结构图(本课重点),以p44例212为例进一步加深映象。3、信号流图与结构图之间的关系 4、如何画信号流图 5、梅逊公式 容易出错点:在应用梅逊公式时,遗漏前向通路和闭合加环。6、用Matlab求解数学模型自学:结构图化简与等效变换作业:219(d)(e)(c)215220
5、思考题:216 数学模型实验测定方法;2、223。重点内容:闭环系统传递函数三种形式(a)输入信号作用下的闭环传递函数、(b)扰动作用下的闭环传递函数、(c)闭环系统的误差传递函数。要求:熟练地写出闭环系统的传递函数和传递函数的特征式。注意:在各种信号作用下,输出量c(s)或误差量e(s)可以应用叠加原理,但闭环传递函数不适用叠加原理。第二章第五次课内容一、闭环系统传递函数三种形式(a)输入信号作用下的闭环传递函数、(b)扰动作用下的闭环传递函数、(c)闭环系统的误差传递函数。要求:能熟练地写出闭环系统的传递函数和传递函数的特征式。注意:在各种信号作用下,输出量c(s)或误差量e(s)可以应用
6、叠加原理,但闭环传递函数不适用叠加原理。二、三、有关本章习题中出现的问题讨论 数学模型:描述系统内部物理量(或变量)关系的数学表达式。二种数学模型:a.静态数学模型:在静态条件下(变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程和。如:R1R2UiUOb.动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分方程。分析一个系统就是具分析、求解该系统的数学模型,从中找出系统运动的规律性。如何建立数学模型 建立数学模型用二种方法:1.分析法2.实验法 分析法:根据系统运动本身的物理、化学规律,列出相应的运动方程。如:电工学中的克希霍夫定律;力学中的牛顿定律等。实验法:对于运动规律很复杂的系统或一个未知的系统无
7、法用一个准确的数学关系式来描述时,可用实验法。数学模型有多种形式1.以时间为变量所建立的模型称为时域模型微分方程。2.在复平面内建立的模型称为复域模型传递函数。3.以频率为变量所建立的模型称为频域模型频率特性。同一系统所取变量不同,其模型也不同,因此同一系统可用多种方法去研究。21 时域分析法例2-1 如图所示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路输入为Ur(t),输出为Uo(t),输入电流为i(t),求输入与输出关系。LRCUiUoi(t)解:由元件本身的电压和电流关系:电感:电阻:电容:例:2-6解2-1题的微分方程设:L=1;C=1;R=1;Uc(0)=0.1;i(0)=0.1;Ur(0
8、)=1(t)因为:代入数据:根据KVL:UL(t)+UR(t)+UC(t)=Ur(t)所以:用代入,消去中间变量i(t)得到描述电路的输入输出关系的微分方程,即数学模型:mF(t)kF2(t)=kx(t)X(t)阻尼器例23建立弹簧质量阻尼器组成的机械位移系统的数学模型图中:F(t):外加力,方向向下F1(t):阻尼器阻尼力,方向向上图中:f:阻尼器阻尼系数k:弹簧弹性系数m:物体质量求:在外力F(t)作用下,物体位移的运动方程。物体的位移是:x(t);运动速度是:速度是位移量的一阶导数加速度是:加速度是位移量的二阶导数分析:物体m受到F(t)、F1(t)、F2(t)的共同作用下,由牛顿定律:
9、代入各元件的关系特性得:由此得到位移x(t)与外力F(t)的关系。X(t)是输出量,F(t)是输入量从以上的两例子,我们总结出建立数学模型的步骤:1.根据元件的工作特性及其在控制系统中的作用,确定输入量和输出量。输入量:外界加在系统的控制约束量;输出量:所关心的或需测量的系统状态。2.分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程。3.消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,即是系统的数学模型。线性定常微分方程求解系统的数学模型建立后,需要对其进行分析,即求解微分方程,求解微分方程一般有两种方法:经典法即解微分方程和拉氏变换方法,在控制理论中多用后者。常用的几个拉氏变
10、换公式及定律1.阶跃函数2.指数函数3.三角函数4.脉冲函数拉氏变换的几个性质1.线性定理:2.微分定理:若:则:3.积分定理:4.初值定理:5.终值定理:例:2-6:解2-1题设:因为:代入数据:根据Laplace变换:由电容的特性:即:用Laplace变换求解线性常微分方程过程n考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行Laplaec变换,将微分方程转换为变量为s的代数方程。n求出输出量的 Laplac函数的表达式。如:n对输出量的Laplace变换函数求反变换,即为微分方程的解。非线性元件微分方程的线性化将非线性元件线性化有二种方法:1.在某一定条件下,忽略非线性因素的影响,将它们视为线
11、性元件,如:电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境(温度、湿度、压力等)对其的影响;电动机忽略摩擦、死区等非线性因素;线性放大器忽略死区、饱和的影响。2.切线法或小信号分析法,如晶体管放大电路的小信号分析法。uQiiu 设非线性函数为y=f(x)在工作点(x0,y0)连续可导,则在工作点附近用泰勒级数展开:式中(x-x0)是自变量在x轴上的增量,当增量很小时,可忽略高次幂项,则:令:2-2.复域数学模型 控制系统的另一个分析方法是:“传递函数”。传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以研究系统的结构或参数变化对系统的影响。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。定义:线性定常
12、系统的传递函数,是在零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。设:线性定常系统由n阶线性常微分方程描述 例:求下示系统的传递函数传递函数的性质 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数,且具有复变量函数的性质(s=+j)且mn,所有的系数均为实数。2.传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统的和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息(即工作状态)。如传递函数:式中,L、R、C均是系统参数。因此,可以用方框图来表示一个具有传递函数为G(s)的线性系统。G(s)R(s)C(S)3.传递函数与微分方程有互通性:a)传递函数分子多项式系统和
13、分母多项式系数,分别与相应的微分方程的右边和左边的系数相对应。b)将微分方程中的 用s替换即得到传递函数,反之将传递函数中的变量s用 替换即得到微分方程。例:由传递函数 求系统微分方程。解:用 替换s变量,即得微分方程。4.传递函数G(s)拉氏反变换是脉冲响应g(t)设:单位脉冲(t)作用于系统G(s),其输出为C(s)传递函数的零点和极点设系统的传递函数为:zi:传递函数零点,是G(s)的分子多项式等于零时的根Pj:传递函数极点,是G(s)的分母多项式(特征多项式等于零的根(特征根)如何确定传递函数的零点、极点1.将传递函数的分子、分母多式分解成因式之积,并消去公因子,即得传递函数的零点、极
14、点。2.零点在分子,极点在分母。3.零点和极点可以是实数或共轭复数。4.在s平面上:零点用“”表示。极点用“”表示。jS平面5.传递函数有时也分解成为:6.当S0时,7.区别零、极点与时间常数在(Ts+1)尾1型表达式中,T为时间常数;在T(s+1/T)首1型表达式中,1/T为零、极点。8.区别根轨迹增益k*与系统增益KK*=b0/a0a0、b0为分子、分母的最高项系数K=bm/an an、bm为常数项。传递函数的极点、零点对输出的影响1、传递函数的极点就是微分方程的特征根由上例分析可知,方程的通解由特征根决定,其运动形态,称为模态。特征根是由系统的固有特性(元件、结构)决定,它反映了系统运行
15、的固有特征自由运动模态。如上例中的:e-t、e-2t。而系统的特解反映的是系统运行的稳定状态。将上式取拉氏变换,求其传递函数 所以,系统的极点决定着系统运动的自由运动模态,决定系统输出响应曲线的运动规律。2、零点不形成自由运动的模态,但影响着系统响应曲线的形状。例:对比下述传递函数,在c1(t)、c2(t)中,它们的自由模态相同 这是因为他们有相同的极点,它们按相同的规律衰减,但它们的衰减系数不同,这是因为它们的零点不同从曲线图上所示看,尽管c1(t)、c2(t)的模态相同,e-t、e-2t,但它们在c1(t)、c2(t)所占的比重不同。在c1(t)中模态的比重较c2(t)大,即极点的影响比零
16、点大。tC(t)1C1(t)C2(t)从复数平面上分析在G1(s)中零点z距两极点的距离较远,对极点的影响较小;在G2(s)中零点z距两极点的距离较近,对极点的影响较大。推论:如果系统中某一零点和某一极点重叠,p=z,则该极点的影响消失。即零、极点对消。jG1(s)-2-1-0.5jG2(s)-2-1-1.33从零、极点的相互关系看,分析的性能,可通过分析零、极点的相互作用进行,如第四章介绍的根轨迹法。改变系统的性能,也可以通过增加或改变零点在s平面上的分布来校正,如第六章介绍的系统校正。典型环节的传递函数 1、电位器:电位器是一种把线位移(直线型电位器)或角位移(旋转型电位器)变换为电压量的
17、装置。忽略非线性因素,空载时,电位器的电刷位移(t)与输出电压u(t)的关系:式中:E:电源电压;k1:传递系数;max:电位器最大角位移U(t)(t)0典型环节的传递函数对 取拉氏变换,得:上式表明,电位器的传递函数是一个常量,输出量与输入量成正比。这个环节称为比例环节,G(s)=kK(S)U(S)典型环节的传递函数2、测速发电机:用来测量角速度,并将角速度转换成电压量,典型环节的传递函数所以,测速发电机,在以角速度为输入量是比例环节;以角位移为输入量是微分环节。kt(s)U(s)kts(s)U(s)典型环节的传递函数3、伺服电动机:伺服电动机根据其输入、输出变量不同有几种模型。a.以角速度
18、(s)与电枢电压的关系ua(s),是惯性环节。b.以角位移(s)与ua(s)关系,是惯性加积分环节。c.以角位移(s)与电磁力矩Mc(s)的关系,是惯性环节。Ua(s)(s)Ua(s)(s)Mc(s)(s)典型环节的传递函数 1 比例环节比例环节比例环节又称放大环节,其传递函数为:2 惯性环节惯性环节惯性环节又称非周期环节,其传递函数为:3 积分环节积分环节积分环节的传递函数为:任何一个复杂的控制系统都可分解成由几个简单的环节组成,称为典型环节典型环节的传递函数4 微分环节微分环节微分环节的传递函数为:5 二阶环节二阶环节 二阶环节又称为振荡环节,其的传递函数为6 延迟环节延迟环节 延迟环节的
19、传递函数为:2-3系统结构图与信号流图 控制系统是由若干个具有一定函数关系的环节组成,并标明信号流向的系统方框图。2-3系统结构图与信号流图如:飞机示意图给给定定装装置置放放大大器器舵舵机机飞飞机机 反馈电反馈电位器位器 垂直垂直陀螺仪陀螺仪0c扰动扰动俯仰角控制系统方块图俯仰角控制系统方块图飞机方块图飞机方块图2-3系统结构图与信号流图系统结构图的绘制结构图包含四个基本单元(1)信号线:用带箭头的直线表示,箭头表示信号流向,直线旁标记表示信号的时间函数或象函数。(2)引出点:表示信号引出或测量的位置。(3)比较点:表示对二个以上信号进行加加、减运算。(4)方框:方框表示对信号进行的数学变换,
20、方框中写入元件的传递函数。Ur(t)/ur(s)Ur(t)/ur(s)Ur(t)/ur(s)如何绘制结构图 1)考虑负载效应,分别列出系统各元件的微分方程或传递函数。2)根据信号流向用信号线依次将各方框连接起来。注意:结构图中方框与实际系统元件并非绝对一一对应,有时一个实际元件可以用一个方框或几个方框表示,而一个方框也可以代表几个元件或一个子系统,或是一个大的复杂系统。2-3系统结构图与信号流图讲解P41例211题1、分别写出各环节的传递函数a、比较电路:将指令值与反馈值进行比较,产生偏差,注意标上e1、e2的极性。E(s)=E1(S)-E2(S)(1)b、调制器:将直流信号转化为交流信号。U
21、(s)=E(s)(2)c、放大器:将控制信号放大以驱动伺服电机。Ua(s)=KAU(s)=E(s)(3)2-3系统结构图与信号流图d、伺服电动机:模型见(249)、(250)e、绳轮传动机构L(s)=r(s)(7)说明:滑轮转一圈,L2r 为f、测量电位器:E2(s)=k1L(s)(8)2-3系统结构图与信号流图2-3系统结构图与信号流图2、由18式画出各环节方框图由式:由式:由式:由式:E1(s)E(s)E2(s)kAE(S)Ua(s)MsMm(s)cmUa(S)Ms2-3系统结构图与信号流图2、由18式画出各环节方框图(续)Jms2fms(s)Mm+r(s)L(s)k1L(s)E2(s)由
22、式:由式:由式:将各环节连系起来,连接时注意依次顺序fmsJms2kAcmk1rE1EE2UaMsMm(s)L(s)E2电机2-3系统结构图与信号流图2、由18式画出各环节方框图(续)图中,伺服电机单元用了四个方框图表示,伺服电动机模型可合并成:则系统图可以简化为:k1kArE1EUa(s)L(s)E22-3系统结构图与信号流图2、由18式画出各环节方框图(续)对于简单的结构图,其输入、输出关系一目了然,而对复杂的结构图,其连接关系是复杂的。方框图的基本连接,只有串联、并联、反馈连接三种。根据方框图的基本连接特点,对系统结构图化简,在化简过程中,遵循变换前后的变量关系保持等效的原则,即:结构图
23、经变换后,虽然结构图发生了变化,但输入输出关系不能变。2-3系统结构图与信号流图结构图的等效变换和化简2-3系统结构图与信号流图n方块图表示的三种常见形式1、串联形式:如 等效的传递函数:2-3系统结构图与信号流图2、并联形式,如n等效的传递函数:2-3系统结构图与信号流图3、反馈联接闭环传递函数2 相邻综合点可互换位置、可合并相邻综合点可互换位置、可合并结构图等效变换方法结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式3 相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并 注意事项:注意事项:1 不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 引出点综合点
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