空间向量与立体几何知识点归纳总结04535.pdf
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1、一对一授课教案学员姓名:年级:所授科目:上课时间:年月日时分至时分共小时教师签名教师签名教学主题教学主题上次作业检查上次作业检查本次上课表现本次上课表现本次作业本次作业学生签名学生签名空间向量与立体几何空间向量与立体几何一知识要点。1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。2向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图。运算律:加法交换律:a b b a加法结合律:(a b)c a (b c)数乘分配律:(a b)a b运算法那么:三角形法那么、平行
2、四边形法那么、平行六面体法那么3.共线向量。1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作a/b。2共线向量定理:空间任意两个向量a、bb0,a/b存在实数,使ab。3三点共线:A、B、C 三点共线AB AC4与a共线的单位向量为aa4.共面向量1定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。2共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使p xa yb。3四点共面:假设 A、B、C、P 四点共面AP xAB yAC5.空间向量根本定理:如果三个向量a,b,c不
3、共面,那么对空间任一向量个唯一的有序实数组x,y,z,使p xa yb zc。第 1 页p,存在一假设三向量a,b,c不共面,我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设O,A,B,C是不共面的四点,那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP xOA yOB zOC。6.空间向量的直角坐标系:1空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA xi yi zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标,记作A(x
4、,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。注:点 Ax,y,z关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)2 假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位 正交基底,用i,j,k表示。空间中任一向量a xi y j zk=x,y,z3空间向量的直角坐标运算律:假设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),那么ab(a1b1,a2b2,a3b3),假设A(x1,y1,z1),B(x2,
5、y2,z2),那么AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式:假设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),AP PB,那么点P 坐标为x1x2y1y2z1z2(,)。推导:设Px,y,z那么111x1 x2y1 y2z1 z2(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),显然,P(,)当 P 为 AB 中点时,222ABC中,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三 角 形 重 心P(x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3,)322P坐
6、标 为ABC 的五心:内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。AP(ABABACAC)单位向量外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。PA PB PC垂心 P:高的交点:PAPB PAPC PBPC移项,内积为 0,那么垂直重心 P:中线的交点,三等分点中位线比AP 1(AB AC)3中心:正三角形的所有心的合一。4模长公式:假设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),那么|a|aa a12a22a32,|b|5夹角公式:cos ab ab|a|b|222bb b1b2b3a1b1a2b2a3b322。22a a2a321b b2b321ABC 中AB AC 0A 为锐角AB AC 0A
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