2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第12讲:斜率问题四含解析.docx
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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第12讲:斜率问题四(解析版)第十二讲:斜率问题(四)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质,直线斜率的表示和计算过程;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线中,直线与其对应的关系,倾斜角互补,斜率互为相反数;拓展目标:能够熟练应用数形结合,观察线段长度,位置关系等,进行倾斜角和斜率的转化.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、倾斜角互补直线和的倾斜角分别为和,当时,则;2、角度相等当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间
2、的关系,即倾斜角互补,斜率相加为零;3、线段相等等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系,即倾斜角互补,斜率相加为零;4、角平分线当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系,即倾斜角互补,斜率相加为零;【考点剖析】考点一:倾斜角互补例1已知椭圆()离心率等于,且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA,PB,设PA,PB与椭圆C异于点P的交点分别为A,B,若,试问直线AB的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由.变式训练1:已知椭圆()的离心率为,以原点为圆心
3、,以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点的坐标为,直线(不过原点也不过点)交于两点,且直线的倾斜角互补,若点是的中点,求直线的斜率.变式训练2:已知圆:,圆:,动圆与圆和圆均内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程(2)点()为轨迹上的点,过点作两条直线与轨迹交于两点,直线,的斜率互为相反数,则直线的斜率是否为定值?若是,求出定值:若不是,请说明理由.变式训练3:已知抛物线C1:与椭圆C2:()有公共的焦点,C2的左右焦点分别为F1,F2,该椭圆的离心率为.(1)求椭圆C2的方程;(2)如图,若直线l与x轴,椭圆C2顺次交于P,Q,R(P点在椭圆左顶点的左侧),且P
4、F1Q与PF1R互为补角,求F1QR面积S的最大值.考点二:角度问题(倾斜角互补)例1已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点,()在椭圆上,点,是椭圆上不同于,的两个动点,且满足:,试问:直线的斜率是否为定值?请说明理由.变式训练1:已知椭圆:,为上焦点,左顶点到的距离为,且离心率为,设为坐标原点,点的坐标为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过的直线与交于,两点,证明:.变式训练2:在平面直角坐标系中,动点到点的距离等于点到直线的距离.(1)求动点的轨迹方程;(2)记动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线交于两点,在轴上是否存
5、在一点,使若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.变式训练3:在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,过点作轴的垂线,垂足为是的中点,当在圆上运动时形成的轨迹为(1)求的轨迹方程;(2)若点,试问在轴上是否存在点,使得过点的动直线交于两点时,恒有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由考点三:长度相等(倾斜角互补)例1已知椭圆的离心率为,经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点AB在椭圆C上,直线分别与y轴交于点MN,试问直线的斜率是否为定值?如果是定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由.变式训练1:已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于已知椭圆:的左右焦点分别为,焦距为
6、2,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若点是椭圆上一点,为轴上一点,设直线与椭圆交于,两点,若直线,关于直线对称,求直线的斜率.变式训练2:已知椭圆C:的短轴长为2,直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点在椭圆C上,且直线PA与PB关于直线对称.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线AB的斜率为定值.变式训练3:已知点,直线l的方程为,双曲线的右焦点为,双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为(1)求双曲线的方程;(2)直线过点与双曲线相交于A,B两点,直线FA与直线FB分别与y轴交于C,D两点,证明:(O为坐标原点)考点四:角平分线(已知)例1已知椭圆C:()的离心率为,点在椭
7、圆C上,点F是椭圆C的右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于M,N两点,则在x轴上是否存在一点P,使得x轴平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由,变式训练1:已知抛物线,过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点,且线段中点的纵坐标为2(1)求直线l的方程;(2)设x轴上关于y轴对称的两点P、Q,(其中P在Q的右侧),过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点,求证:始终被x轴平分变式训练2:已知椭圆:的离心率为,点为椭圆C上一点(1)求椭圆的方程;(2)若是椭圆上的两个动点,且的角平分线总是垂直于轴,求证:直线的斜率为定值考点五:角平分线(翻译)例1已知曲线的焦点
8、为,曲线上有一点满足.(1)求抛物线的方程;(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点,直线与轴相交于,试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在,请求出点坐标.变式训练1:设抛物线上的点与焦点的距离为6,且点到轴的距离为(1)求抛物线的方程;(2)设抛物线的准线与轴的交点为点,过焦点的直线与抛物线交于两点,证明:变式训练2:已知为坐标原点,点,设动点到直线的距离为,且,.(1)记动点的轨迹为曲线,求曲线的方程;(2)若直线与曲线交于两点,直线与曲线交于,两点,直线与的交点为(不在曲线上),且,设直线,的斜率分别为,.求证:为定值.考点六:定比分点(弦长的应用)例1已知
9、椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1(1)求椭圆的方程;(2)设点在直线上,过点的两条直线分别交曲线于两点和两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和变式训练1:已知为坐标原点,抛物线C:的焦点为F,P为抛物线C上一点,PF与y轴垂直,Q为y轴上一点,且,若.(1)求;(2)设点,过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A,B两点和D,E两点,且满足,求证为定值.变式训练2:已知椭圆:的左、右焦点分别为,离心率为,且经过点(1)求椭圆的方程;(2)动直线与椭圆相切,点是直线上的两点,且,求四边形的面积;(3)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点,和,设直线与的斜率
10、分别是,若,试问是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由变式训练3:在平面直角坐标系中,已知点,点P为平面内的动点,且的周长为.记点P的轨迹为C.(1)试说明曲线C的形状,并求C的方程;(2)设点M在直线上,且M不在C上,过M的两条直线分别交C于A,B两点和R,H两点,且,直线和的斜率都存在且不为零,求直线的斜率与直线的斜率的比值.【当堂小结】1、知识清单:(1)椭圆,双曲线,抛物线的简单性质;(2)倾斜角互补,斜率相加为零;(3)数形结合把图形转化为倾斜角,斜率求解;2、易错点:数形结合将图形转化为倾斜角;3、考查方法:数形结合思想,数与形的转化;4、核心素养:数学运算,数学抽象.【过关
11、检测】1已知抛物线,直线与交于两点且(为坐标原点)(1)求抛物线的方程;(2)设,若直线的倾斜角互补,求的值2已知椭圆的焦距为,左、右焦点分别为,为椭圆上一点,且轴,为垂足,为坐标原点,且(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点的直线(斜率不为)与椭圆交于两点,为轴正半轴上一点,且,求点的坐标3已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且点的纵坐标为4,(1)求抛物线的方程;(2)过点作直线交抛物线于两点,试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数?若存在求出点的坐标,若不存在说明理由4已知双曲线的左焦点为,到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点,当直线经过的右焦点且垂直于轴时,.(
12、1)求的方程;(2)是否存在轴上的定点,使得直线过点时,恒有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.5已知椭圆C:的离心率为,点和点都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q(不与O重合),使得?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由6在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为,其离心率,且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A,B(均异于点M).若AMB的角平分线与y轴平行,试探究直线
13、AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.7已知抛物线的焦点为F,其中P为E的准线上一点,O是坐标原点,且(1)求抛物线E的方程;(2)过的直线与E交于C,D两点,在x轴上是否存在定点,使得x轴平分?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由8已知动点到点的距离与到直线的距离相等,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知,不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于,两点,是坐标原点,若平分,问直线是否过定点?若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.9已知抛物线的准线方程为(1)求C的方程;(2)直线与C交于A,B两点,在C上是否存在点Q,使得直线QA,QB分别与y轴交于
14、M,N两点,且?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由第十二讲:斜率问题(四)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质,直线斜率的表示和计算过程;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线中,直线与其对应的关系,倾斜角互补,斜率互为相反数;拓展目标:能够熟练应用数形结合,观察线段长度,位置关系等,进行倾斜角和斜率的转化.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、倾斜角互补直线和的倾斜角分别为和,当时,则;2、角度相等当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系,
15、即倾斜角互补,斜率相加为零;3、线段相等等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系,即倾斜角互补,斜率相加为零;4、角平分线当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时,则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系,即倾斜角互补,斜率相加为零;【考点剖析】考点一:倾斜角互补例1已知椭圆()离心率等于,且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA,PB,设PA,PB与椭圆C异于点P的交点分别为A,B,若,试问直线AB的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由.【答案】(1)(2)直线AB的斜率是定值,为解析:(1)
16、因为椭圆()离心率等于,且椭圆C经过点,所以且,解得,所以椭圆C的方程为(2)由题意得,两条直线PA,PB的斜率均存在,且互为相反数,设直线为,则直线为,设,将代入,得,所以,所以,同理可得,所以所以直线AB的斜率是定值,等于变式训练1:已知椭圆()的离心率为,以原点为圆心,以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点的坐标为,直线(不过原点也不过点)交于两点,且直线的倾斜角互补,若点是的中点,求直线的斜率.解析:(1)由已知得,,又原点到直线的距离为,因此,故椭圆的方程为;(2)由题意可得直线的斜率存在,设直线的方程为,设,由可得,则,且,直线,的倾斜角互补,则,
17、代入,所以即有,整理可得,即又直线不经过点即故变式训练2:已知圆:,圆:,动圆与圆和圆均内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程(2)点()为轨迹上的点,过点作两条直线与轨迹交于两点,直线,的斜率互为相反数,则直线的斜率是否为定值?若是,求出定值:若不是,请说明理由.【答案】(1);(2)是定值,定值为.解析:(1)由题意得,.设动圆圆心C的坐标为,半径为r,则,.从而.动圆圆心C的轨迹E是焦点为,长轴长等于4的椭圆,且,.又,得,动圆圆心C的轨迹E的方程为.(2)由(1)可得.设直线PA的方程为则直线PB的方程为.设,.由消去y,整理得,则,即.(1)同理可得.(2).将(1)(2)代入上式,化简
18、得.故直线AB的斜率为定值.变式训练3:已知抛物线C1:与椭圆C2:()有公共的焦点,C2的左右焦点分别为F1,F2,该椭圆的离心率为.(1)求椭圆C2的方程;(2)如图,若直线l与x轴,椭圆C2顺次交于P,Q,R(P点在椭圆左顶点的左侧),且PF1Q与PF1R互为补角,求F1QR面积S的最大值.【答案】(1);(2)解析:(1)由题意可得,抛物线的焦点为,所以椭圆的半焦距,又椭圆的离心率,所以,则,即,所以椭圆的方程为.(2)设,与互补,所以,化简整理得,设直线PQ为,联立直线与椭圆方程化简整理可得,可得,由韦达定理,可得,将,代入,可得,再将代入,可得,解得,PQ的方程为,且由可得,即,由
19、点到直线PQ的距离,令,则,当且仅当时,等号成立,所以面积S最大值为. 考点二:角度问题(倾斜角互补)例1已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点,()在椭圆上,点,是椭圆上不同于,的两个动点,且满足:,试问:直线的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1);(2)为定值,理由见解析解析:(1)因为椭圆的中心的原点,焦点在轴上,所以设椭圆标准方程为,因为椭圆离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,焦点为,所以,所以,解得,所以椭圆的标准方程.(2)由题意,直线与椭圆交点,设,当时直线斜率之和为,设斜率为,则斜率为,的直线
20、方程为,与椭圆联立得,所以,同理,所以,直线的斜率为.变式训练1:已知椭圆:,为上焦点,左顶点到的距离为,且离心率为,设为坐标原点,点的坐标为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过的直线与交于,两点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析解析:(1)左顶点到的距离为,可得,又,故,从而椭圆的标准方程为(2)证明:当与轴重合时,分当与轴不重合时,设的方程为,直线,的斜率,之和为,又,联立方程,可得, ,从而,故直线,的倾斜角互补,.综上.变式训练2:在平面直角坐标系中,动点到点的距离等于点到直线的距离.(1)求动点的轨迹方程;(2)记动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线交于两点,在轴上是否存在一点
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- 2023 年高 数学 压轴 圆锥曲线 专题 12 斜率 问题 解析
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