二元函数的极值.ppt
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1、1定理(dngl)6.6.1(必要条件)设函数在点处偏导数存在,并取得极值,则证明:不妨设在点处取得极大值.则,特别地,取有由一元函数极值(j zh)必要条件知,同理,使同时成立的点,的驻点.称为函数在 x=x0 点取得(qd)极大值,考虑一元函数第1页/共14页第一页,共15页。2注意(zh y):1)若极值点的偏导数存在(cnzi),极值点必是驻点.2)函数的驻点(zh din)不一定是极值点.例 3)函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.但在(0,0)点取得极小值例4)函数的极值点:驻点不存在,不存在偏导数不存在的点第2页/共14页第二页,共15页。3定理(dngl)6.6.2(充分条件
2、)令(1).若有极值(j zh),(2).若(3).若情况(qngkung)不定.且设函数在点某邻域内及二阶连续偏导数,且有一阶是极大值.是极小值.不是极值.注意:结论(1)中的 A 换为 C 结论不变。第3页/共14页第三页,共15页。4例1.求函数的极值.解:得驻点(zh din):在点处,有极小值在点处,无极值(j zh).,无极值(j zh).有极大值,在点处,在点处,解方程组第4页/共14页第四页,共15页。5步骤(bzhu):(2)对每个驻点(zh din)(x0 ,y0),求出二阶偏导数的值A,B,C.(3)应用定理(dngl)4.9判定得出结论。(1)求求出驻点(x0 ,y0)
3、并令求函数 极值的方法和步骤.第5页/共14页第五页,共15页。6 最大值、最小值对于区域 D 内任一点,若恒有不等式在平面区域内有定义,设函数最大值与最小值统称(tngchng)为最值.例如(lr):在点处取得(qd)最小值 0.在点处取得最大值 2.则称该函数在点 处有最大值使函数取得最值的点统称为最值点.则称该函数在点 处有最小值第6页/共14页第六页,共15页。7 最大值、最小值的求法最值点(1)边界点求出该函数在这些(zhxi)点上的函数值,比较大小即可求得最值在有界闭区域上连续,则一定有最值。设函数(2)驻点(zh din)(3)偏导数(do sh)不存在的点若根据实际问题确定函数
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- 二元 函数 极值
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