自动控制原理ppt课件-第九章-状态空间分析法.ppt
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1、1第九章状态空间分析方法状态空间分析方法2主要内容9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录3引言引言:前面几章所学的内容称为经典控制理论;下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论经典控制理论(20世纪世纪50年代前年代前)现代控制理论现代控制理论(20世纪世纪50年代后年代后)研究对象研究对象单输入单输出的线单输入单输出的线性定常系统性定常系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传递函数传递函数(输入、输出描述输入、输出描述)状态方程状态方程(可描述内部行
2、为可描述内部行为)数学基础数学基础运算微积、复变函运算微积、复变函数数线性代数、矩阵理论线性代数、矩阵理论设计方法的设计方法的特点特点非唯一性、试凑成非唯一性、试凑成分多分多,经验起很大经验起很大作用。主要在复数作用。主要在复数域进行。域进行。设计的解析性,与计设计的解析性,与计算机结合,主要在时算机结合,主要在时间域进行。间域进行。4基本要求基本要求 1.掌握由系统输入掌握由系统输入-输出的微分方程式、系统动态结输出的微分方程式、系统动态结构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型的的方法。方法。2.熟练掌握矩阵指数的计算方法,熟练掌握由时域熟练掌握矩阵
3、指数的计算方法,熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。方程计算传递函数的公式。3.正确理解可逆线性变换正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。前、后动态方程各矩阵的关系。4.正确理解可控性和可观测性的概念,熟练掌握和正确理解可控性和可观测性的概念,熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。运用可控性判据和可观性判据。返回子目录返回子目录55.熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统能将可控系统 化为可控标准形。能化为可控标准
4、形。能对对不可控系统进行可控性分解。不可控系统进行可控性分解。6.正确理解对偶原理正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。转化为对偶系统的可控性问题来研究。7.正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。现、可观性标准形实现的构成方法。8.正确理解状态反馈对可控性正确理解状态反馈对可控性、可观性的影响可观性的影响,正确理解正确理解状态反馈可任意配置闭环极
5、点的充要条件。状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。69.熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。可进行闭环极点配置和观测器极点配置。10.正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的稳定的概念概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。稳定的方法。11.正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和正确理解李雅
6、普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。79-1 状态空间方法基础在经典控制理论中,用传递函数来设计和分析单在经典控制理论中,用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。输入、单输出系统。在现代控制理论中,用状态变量来描述系统。采在现代控制理论中,用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了,用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了,为系统的分析研究提供了有力的工具。为系统的分析研究提供了有力的工具。返回返回子目录子目录8状态:状态:动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义
7、为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知已知 时状态,时状态,时的输入,可确定时的输入,可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。状态变量状态变量:确定动力学系统状态的最小一组变量确定动力学系统状态的最小一组变量 。9状态空间:由 张成的n维向量空间。状态向量状态向量:如果完全描述一个给定系统的动态行如果完全描述一个给定系统的动态行为需要为需要n n个状态变量,那么状态向量个状态变量,那么状态向量定义为定义为X(tX(t)。对于确定的某个时刻,状态表示为状态空间中一个点,状态随时间的变化过程,构成了状态空间中的一条轨迹。10例9-2设一设一RLCRLC网络如图所示。网络如图所示。回路
8、方程为回路方程为图9-2 RLC网络11则有写成输出选择状态变量,12写成则有若选另一组状态变量,13 若给出(t=0)时的初值 、和 时就可确定系统的行为。单输入单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式14(9-17)15或写成(9-19)16系统结构图如图所示图图9-317例9-3输入为输入为 u u,输出为,输出为y y。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统18解:状态方程为写成取状态变量19输出图9-4 例9-3系统的结构图20多输入-多输出系统图图9-6 多变量
9、系统多变量系统21 为状态变量;为输入量;为输出变量。22矩阵形式:式中23.输出变量方程24式中式中25图9-7 系统结构图26三、线性定常系统状态方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。(9-28)齐次向量微分方程齐次向量微分方程(9-29)方程的解为方程的解为1、齐次状态方程的解27可得代入方程 将方程两边系数必相等方程两边系数必相等,即即28我们定义(9-31)(9-32)因此,齐次状态方程的解为将 t=0 代入式(9-29)中得29(9-33)(9-34)(9-35)为nn矩阵,称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解30拉氏逆变换后
10、得到(9-37)(9-38)31最终得到与前一种解法所得结果一致。与前一种解法所得结果一致。式中(9-41)32状态转移矩阵具有以下性质:状态转移矩阵具有以下性质:33图9-8 状态转移特性性质性质334例9-5设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵。35解:求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为36例9-6设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。37解:用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 38状态方程之解为状态方程之解为 将上式进行拉氏逆变换将上式进行拉氏逆变换39图图9-9 系统的瞬态解(系统的瞬态解(a)
11、与相轨迹()与相轨迹(b)40改写为 用 左乘等式两边 2 2 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次方程(9-53)(9-54)41用 左乘上式两边(9-54)则式(9-54)可以写成(9-55)积分上式得42讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法拉氏逆变换得拉氏逆变换得由于由于由卷积定理有由卷积定理有43因此由于由于最后得到44例9-7求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。45解:由状态转移矩阵46若初始状态为零状态,则若初始状态为零状态,则47四、传递函数矩阵(9-58)系统状态方程系统状态方程(9
12、-59)输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为48解出解出定义传递函数矩阵为定义传递函数矩阵为(9-63)49所以所以特征方程为特征方程为(9-64)50例9-8设系统的动态方程为设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。试求该系统的传递函数矩阵。51解:已知已知故故5253例9-9设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。54解:系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。55五、动态方程的可逆线性变换五、动态方程的可逆线性变换其中 P 是nn 矩阵56特征多项式特征多项式
13、没有改变。57传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变58例9-10对例对例9-99-9之系统进行坐标变换,其变换关之系统进行坐标变换,其变换关系为系为试求变换后系统的特征方程和特征值。试求变换后系统的特征方程和特征值。59解:根据题意求变换矩阵代入60特征方程为特征值为-1,-2,-3,与例9-9结果相同。可得619-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中,对系统的描述可由状态方程和输出在状态空间法中,对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变状态方程是描述由输入和初始状态所引起
14、的状态的变化;输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化;输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化化可控性和可观测性的概念,就是回答可控性和可观测性的概念,就是回答“系统的输入是系统的输入是否能控制状态的变化否能控制状态的变化和和“状态的变化能否由输出状态的变化能否由输出反映出来反映出来这样两个问题。这样两个问题。返回子目录返回子目录62一、准备知识一、准备知识设设A A 是 nn 矩阵,x x 是 n1 向量,齐次方程组若|A|=0,式(9-70)存在非零解;若|A|0,式(9-70)只有零解。Ax=0(9-70)1.1.齐次方程组的非零解齐次方程组的非零解632.凯莱-哈米尔顿(Ca
15、yley-Hamilton)定理 CayleyCayley-Hamilton-Hamilton定理指出,定理指出,矩阵矩阵A A满足自己的特征多项式。满足自己的特征多项式。则A满足(9-71)(9-72)A的特征多项式64应用Cayley-Hamilton 定理(9-78)对于矩阵指数 可以用来表示。65例9-11解:矩阵A的特征多项式要求计算矩阵 的66矩阵A满足自己的特征多项式,有本题中n=100,故有M673.引理的充分必要条件是:的充分必要条件是:存在存在 使使(9-80)非奇异。这里非奇异。这里A:A:n nn n,b:n,b:n1 1。68若对任意状态若对任意状态 ,存在一个有限时
16、刻,存在一个有限时刻 和控制量和控制量 ,能在,能在 时刻将状态时刻将状态 转移到转移到0 0,则称此系统的状态,则称此系统的状态完全可控。完全可控。二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1.定义对于任意时刻对于任意时刻 和和 ,若存在控制向量,若存在控制向量 ,能将,能将 的的每个初始状态每个初始状态 转移到转移到 时刻的另一任意状态时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。则称此系统的状态完全可控。等价的定义69例如图9-10 二维系统状态转移过程如图所示二维系统状态转移过程如图所示系统可控。系统可控。70 2.可控性判据其中 A A(nn),b b(n1),c c(1n),d d
17、(11)系统可控的充分必要条件是(9-84)(9-85)(9-86)单变量线性定常系统71证明:将u(t)代入式(9-54),可得(9-87)若式若式(9-86)(9-86)成立,由前面准备知识的引理,存在成立,由前面准备知识的引理,存在t t1 100,使,使得式得式(1-30)(1-30)定义的定义的W(0,tW(0,t1 1)矩阵非奇异,取矩阵非奇异,取t t1 1为可控性定为可控性定义中的义中的t tf f ,且在,且在0,0,t tf f 上定义上定义72由定义可知式(9-86)成立时,系统可控。73再证明若系统可控,则式(9-86)成立。根据凯莱-哈密尔顿定理(9-88)(9-89
18、)假定系统由任意初始状态被控制到零状态,即 x(tf)=0。根据(9-54)式,则有74把(9-89)式代入(9-88)式,得记这时(9-90)75由于x(0)是任意的n维向量,式(9-90)要有解,一定有(9-86)式成立,即由上述可控性判据可知,系统的可控性只取决于式由上述可控性判据可知,系统的可控性只取决于式(9-(9-84)84)中的中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见,将可控性矩阵阵。今后为了方便起见,将可控性矩阵记为记为S S,这样,可控的充要条件就写成:,这样,可控的充要条件就写成:rankSrankS=n =n 或或 detS0detS0。76图9-11 不可控系统77
19、例子系统可控。系统78 3.约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为由前面讨论可知,等价变换不改变可控性。79可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块,即各约当块的特同一特征值对应的约当块只有一块,即各约当块的特征值不同。征值不同。每一约当块最后一行,所对应的每一约当块最后一行,所对应的b b中的元素不为零。中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。性判据。80例9-12系统状态方程为系统状态方程为试确定系统可控时,试确定系统可控时,应满足的条件。应满足的条件。81解:如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得
20、到同样结果.因为因为A A阵有两个约当块,根据判据的阵有两个约当块,根据判据的应有应有 ,由判据的,由判据的,A A的第二行所对应的的第二行所对应的b b中的元中的元素素b2 2,b4 4均不为零,因此系统可控的充要条件均不为零,因此系统可控的充要条件为为82 4.可控标准形(9-92)则系统一定可控。一个单输入系统,如果具有如下形式83式(9-92)的形式被称为单输入系统的可控标准形可控标准形。对于一般的单输入对于一般的单输入n n维动态方程维动态方程 (9-93)(9-93)其中其中A A,b b分别为分别为n nn,nn,n1 1的矩阵。成立以下定理:的矩阵。成立以下定理:若若n n维单
21、输入系统可控,则存在可逆线性变换,将其维单输入系统可控,则存在可逆线性变换,将其变换成可控标准形。变换成可控标准形。84下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S;计算计算 ,并记,并记 的最后一行为的最后一行为h h。构造矩阵构造矩阵 P P令令 即可求出变换后的系统状态方程。即可求出变换后的系统状态方程。,85例9-13设系统状态方程为设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。试将系统状态方程化为可控标准形。86解:先判断可控性,再计算变换矩阵,将状态方程先判断可控性,再计算变换矩阵,将状态方程化为可控标准形。化为可控标准形。故系统可控。故系统可控。一定可将它
22、化为可控标准形。一定可将它化为可控标准形。87此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数,但符号相反。则变换矩阵为88可求出895.系统按可控性进行分解系统按可控性进行分解 系统可控时,可通过可逆线性变换变换为可控标准形,系统可控时,可通过可逆线性变换变换为可控标准形,现在研究不可控的情况,这时应有现在研究不可控的情况,这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理(9-103)90若单变量系统式(9-84),(9-85)的可控性矩阵满足式(9-103),则存在可逆线性变换矩阵P,使得变换后的系统方程具有以下形式(9-106)(9-107)式中 是n1维向量,是n2维向量,并
23、且91式(9-106)表明下面的动态方程是可控的:式(式(9-107)9-107)表明的动态方程表明的动态方程(9-108)(9-108),(9-109)(9-109)和原来的和原来的n n维动态方程维动态方程 (9-84)(9-84),(9-85)(9-85)具有相同的传递函数。或具有相同的传递函数。或者说者说传递函数中未能反映系统中不可控的部分。传递函数中未能反映系统中不可控的部分。(9-108)(9-109)92证明:证明:(9-110)考察考察(9-103)(9-103)式,并将它重新写出如下式,并将它重新写出如下进而可以证明进而可以证明补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量并使
24、得向量组并使得向量组 线性无关。线性无关。即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。93令若将式若将式(9-104(9-104,105)105)所表示的系统用方框图表示,可所表示的系统用方框图表示,可控性分解的意义就能更直观地体现出来,式控性分解的意义就能更直观地体现出来,式(9-104)(9-104),(9-105)(9-105)的系统方框图如图的系统方框图如图9-129-12所示。所示。94图9-12 系统按可控性分解95从图从图9-12中可见,控制输入不能直接改中可见,控制输入不能直接改变变 也不能通过影响也不能通过影响 间接改变间接改变 ,故,故 这一部分状态分量是不受输入影响的
25、,这一部分状态分量是不受输入影响的,它是系统中的不可控部分。它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定,即传递函图中虚线以上的部分所决定,即传递函数未能反映系统的不可控部分。数未能反映系统的不可控部分。96例9-14设有系统方程如下设有系统方程如下 其传递函数为其传递函数为 试进行可控性分解试进行可控性分解 。97解:系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合,列的线性组合,系统不可控系统不可控 。选取选取98计算出计算出 构成构成99故有因而得100三、
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- 自动控制 原理 ppt 课件 第九 状态 空间 分析
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