工学高等数学课件.pptx
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1、回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出ab xyo第1页/共137页面积表示为定积分的步骤如下(3)求和,得A的近似值第2页/共137页ab xyo(4)求极限,得A的精确值提示提示面积元素第3页/共137页第4页/共137页元素法的一般步骤:第5页/共137页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向:应用方向:平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等第6页/共137页元素法的提出、思想、步骤.(注意微元法的本质)(注意微元法的本质)二、小结第7页/共137页思考题思考题微元法的实质是什么?第8页/共137页思考题解答思考题解答微元
2、法的实质仍是“和式”的极限.第9页/共137页第10页/共137页曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形第11页/共137页解解两曲线的交点面积元素选 为积分变量第12页/共137页解解两曲线的交点选 为积分变量第13页/共137页于是所求面积说明:注意各积分区间上被积函数的形式说明:注意各积分区间上被积函数的形式问题:问题:积分变量只能选 吗?第14页/共137页解解两曲线的交点选 为积分变量第15页/共137页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第16页/共137页解解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第17页/共137页面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系
3、情形第18页/共137页解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第19页/共137页解解利用对称性知第20页/共137页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)三、小结第21页/共137页思考题思考题第22页/共137页思考题解答思考题解答xyo两边同时对 求导第23页/共137页积分得所以所求曲线为第24页/共137页练练 习习 题题第25页/共137页第26页/共137页第27页/共137页练习题答案练习题答案第28页/共137页第29页/共137页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直
4、线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第30页/共137页xyo旋转体的体积为第31页/共137页解解直线 方程为第32页/共137页第33页/共137页解解第34页/共137页第35页/共137页解解第36页/共137页第37页/共137页补充补充利用这个公式,可知上例中第38页/共137页解解体积元素为第39页/共137页二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第40页/共137
5、页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第41页/共137页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第42页/共137页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结第43页/共137页思考题思考题第44页/共137页思考题解答思考题解答交点立体体积第45页/共137页练练 习习 题题第46页/共137页第47页/共137页第48页/共137页练习题答案练习题答案第49页/共137页第50页/共137页一、平面曲线弧长的概念第51页/共137页弧长元素弧长二、直角坐标情形第52页/共137页解解所求弧长为第53页/共137页解解第54页/
6、共137页曲线弧为弧长三、参数方程情形第55页/共137页解解 星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第56页/共137页证证第57页/共137页根据椭圆的对称性知故原结论成立.第58页/共137页曲线弧为弧长四、极坐标情形第59页/共137页解解第60页/共137页解解第61页/共137页平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结第62页/共137页思考题思考题第63页/共137页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够,必须保证曲线光滑才可求长第64页/共137页练练 习习 题题第65页/共137页第66页/共13
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