经济管理数学函数极限与连续.pptx
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1、又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这里就已包含着微积分中“无限细分,无限求和”的思想方法.又如,隋代建造的跨度达37 m的大石拱桥赵州桥,系用一条条长方形条石砌成,一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈,这就是微积分“以直代曲”(或“以常代变”)这个基本思想的生动原型.恩格斯指出“数学的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学.有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的,但不是由他们发明的.”第1页/共88页0.2 微积分如何解决实际问题自由落体的速度问题.由物理学可知,自由落体的运动规律为
2、第一步 分析问题,提出矛盾第2页/共88页图0.1第3页/共88页第二步 寻求做法,解决问题落体在t=1 s到t=1.1 s这段时间内的平均速度时刻t=1 s到t=1.01 s这段时间落体的平均速度第4页/共88页落在t=1 s到t=(1+t)s这段时间内的平均速度从平均速度的数学表达式可以看出,当t无限变小时,v 就“无限接近”于常数值9.8,因此,自由落体在t=1 s时的瞬时速度为9.8 m/s,即v=9.8 m/s.-第5页/共88页上面由平均速度向瞬时速度转化的分析,可图示如下:第6页/共88页自由落体瞬时速度的方法:第一步 以“不变代变”(或以常代变),求出t=1 s到t(1+t)s
3、这段时间内的平均速度 v.第二步在t“无限变小”的过程中,考察平均速度v 的变化趋势,从而得出其自由落体在t=1 s时的瞬时速度.-第7页/共88页第第1 1章章 函数、极限与连续函数、极限与连续1.1 函数变量(1)变量和常量始终保持一定数值而不变化的量叫做常量,可以取不同数值而变化的量叫做变量.(2)区间通常用“区间”来表示变量x的变化范围.设a,b是两个给定的实数,满足axb的实数的全体叫做闭区间,用记号a,b表示;满足axb的实数的全体叫做开区间,用记号(a,b)表示;满足axb第8页/共88页 或axb的实数的区间叫做半开半闭区间,用记号(a,b或a,b)表示.(3)邻域在数轴上,一
4、个以x0点为中心,半径为的对称开 区 间(x0-,x0+)叫 做 点 x0的邻 域,记 为N(x0,).函数概念(1)引例引例1 圆的面积A与其半径r之间的相互关系为:A=r2,当在(0,+)内任意取定一个数值时,就可由上式确定圆面积A的对应数值.第9页/共88页引例2 某商品的销售单价为k(元),销售数量x与销售收入R(元)之间的相互关系为:R=kx,当x在自然数集1,2,3,中任意取定一个数值时,就可由上式确定销售收入R的对应数值.引例3 某气象站用自动记录仪记下一昼夜气温的变化情况.图1.1是温度记录仪在坐标纸上画出的温度变化曲线图,其中横坐标是时间t,纵坐标是温度T,它形象地表示出温度
5、T随时间t变化而变化的规律:对于某一确定的时间t(0t24),就有一个确定的T值与之对应.例如,当t=t0时,由图1.1有T=T0.第10页/共88页图1.1第11页/共88页引例4 某百货商店记录了毛线历年来的月销售量(单位:百公斤),并将近10年来的平均月销售量列成表1.1.以上各例,虽其具体意义各不相同,但其共同特点是它们都表达了两个变量之间的相依关系,并为这种相依关系给出了一种对应法则.根据这一法则,当其中一个变量在其变化范围内任取一个数第12页/共88页 值时,另一个变量就有确定的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质.(2)函数定义定义1.1 设有两个变量x与y,
6、若当变量x在其变化范围内任取一个数值时,变量y按照一定的法则,总有确定的数值与之对应,则称y是x的函数.记作 x叫自变量,y叫因变量,自变量x可取值的全体叫函数的定义域,常记为D;对应x的函数值的全体叫函数的值域,常记为E.第13页/共88页(3)函数定义域的求法例1 求下列函数定义域:第14页/共88页或或第15页/共88页(4)函数符号f(x)的使用第16页/共88页第17页/共88页(5)分段函数凡函数公式法中,用两个或两个以上的分析式子所给出的函数,称为分段函数.分段函数可以把一些较复杂的经济活动的全过程表示出来,它在实际应用中经常遇见,很有实用价值.一般而言,分段函数已不属于初等函数
7、的范围了.但它仍然表示一个函数,不要把分段函数误认为有几个表达式就看成几个函数,千万要注意这一点.而且分段函数的函数值是用自变量所在区间相对应的那个式子去计算.第18页/共88页(6)反函数一般由y=f(x)(直接函数)确定x是y的函数:x=(y),称x=(y)为y=f(x)的反函数.通常y=f(x)的反函数记为y=f-1(x).函数y=f(x)的图形与其反函数y=f-1(x)的图形是关于直线y=x对称的两条曲线,见图1.2.第19页/共88页图1.2第20页/共88页例 设y=f(x)=e2x-1,求其反函数.解 由y=e2x-1有e2x=y+1(7)建立函数关系式举例设有一块边长为a的正方
8、形铁皮,在它的四角各剪去边长相等的一块小正方形,制成一个无盖盒子,求这盒子的容积与被剪去的小正方形边长之间的函数关系.y=(x+1)为 y=第21页/共88页解 设被剪去的小正方形边长为x,盒子的容积为V,这时,盒子的高为x,正方形的底边长为(a-2x)(图1.3),根据几何知识,底面积乘以高等于体积,于是可得盒子的容积为函数的几种特性(1)增减性单调增加函数的图形是沿x轴正方向逐渐上升的,如图1.5所示;单调减少函数的图形是沿x轴正方向逐渐下降的,如图1.6所示.第22页/共88页图1.3第23页/共88页图1.6图1.5第24页/共88页例 求证f(x)=2x-5为增函数.证Df=(-,+
9、),在Df内任取两点x1,x2,且x1x2,即x1-x20.现需证f(x1)f(x2).事实上从而f(x1)0)为减函数.证 在定义域Df=(0,+)内任取两点x1,x2,且x1x2,即 f(x2)成立,故f(x)=1-ln x为减函数.(2)奇偶性对函数y=f(x),若当自变量x改变符号时,函数值 y也 改 变 符 号,即 恒 有 f(-x)=-f(x),则 称y=f(x)为奇函数;若当x改变符号时,函数值不变号,即恒有 f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.由函数奇偶性定义不难看出:函数为奇函数的充要条件为f(-x)+f(x)=0恒成立;函数为偶函数的充要条件为f(-x)-f(x
10、)=0恒成立.第26页/共88页图1.7图1.8第27页/共88页奇函数的图形对称于坐标原点,如图1.7所示;偶函数的图形对称于y轴,如图1.8所示.例 判断下列函数的奇偶性:第28页/共88页 这表明y=x2+sin x既非奇函数,也非偶函数.亦称y=x2+sin x为非奇非偶函数.(3)周期性对y=f(x),如存在正数T,使 f(x+)=f(x)恒成立,则称此函数为周期函数,且称满足这个等式的最第29页/共88页 小正数T为函数的周期.对周期函数,可由任何一段长为T的区间上的图形通过平移确定其整个图形.例如y=sin x,y=tan x,它们都是周期函数,且其周期分别为2与.初等函数(1)
11、基本初等函数1)常量函数第30页/共88页图1.9第31页/共88页2)幂函数3)指数函数如图1.10所示.4)对数函数第32页/共88页如图1.11所示.图1.10图1.11第33页/共88页5)三角函数函数sin x,cos x,sec x,csc x是以2为周期;tan x,cot x是以为周期的周期函数.sin x,cos x是有界函数,其他都是无界函数.cos x,sec x是偶函数,其他都是奇函数.第34页/共88页6)反三角函数反三角函数是把三角函数限制在单调区间上的反函数.常用的反三角函数是:上面6种函数统称为基本初等函数.(2)复合函数第35页/共88页定义1.2 若y是u的
12、函数y=f(u),而u又是x的函数u=(x),且与x对应的u值能使y有定义,则称y为x的复合函数,记作y=f(x).其中u叫中间变量,x叫基本变量.例 下列复合函数是由哪些简单函数复合而成?解 将复合函数分解为简单函数的关键是抓住每次复合的末一道运算.第36页/共88页1)的末一道运算是幂运算,因此它是由简单函数 ,u=1+x2复合而成.2)y=cos2 x的末一道运算是幂运算,因此它由y=u2,u=cos x复合而成.3)的末一道运算是乘积运算,因此它是由y=2u,u=sin v,w=1-x2复合而成.4)的末一道运算是对数运算,因此,它是由y=ln u,u=1+v,w=1+x2复合而成.(
13、3)初等函数第37页/共88页定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除、乘方、开方)与复合步骤构成的,且能用一个数学式子表示的一切函数,统称为初等函数.经济学中常用的函数(1)微观经济学中常用的经济函数1)需求函数把商品价格P看做自变量,需求量Q看做因变量,即需求量Q可视为商品价格P的函数,称为需求函数,记作第38页/共88页图1.12图1.13在经济学和企业管理中常用的需求函数有:线性需求函数Q=a-bP(a0,b0,均为常数).第39页/共88页二次曲线需求函数Q=a-bP-cP2(a0,b0,c0,均为常数).指数需求函数Q=ae-bP(a0,b0,均为常数).2)供
14、给函数(供应函数)经济学中最常用的供给函数是线性供给函数,它的一般形式为Q=cP-d,供给曲线如图1.14所示.其他常见的供给函数还有二次函数、幂函数、指数函数等.图1.14第40页/共88页3)成本函数(费用函数)经济学中常用的总成本函数有:线性函数 C=C(x)=C1+ax二次函数 C=C(x)=a1+a2x+a3x2三次函数 C=C(x)=k0+k1x+k2x2+k3x34)收益函数总收益、平均收益函数.第41页/共88页5)利润函数生产一定数量的产品的总收入与总成本之差,就是总利润,记作L.平均利润记作 ,即6)生产函数如果以x表示变化的投入量,q表示产出量,则生产函数为图1.15第4
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