全等三角形难题集锦(整理)_1.pdf
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1、K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 1 1、(1)如图 1,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD,相交于点 E,连结 BC求AEB 的大小;(2)如图 2,OAB 固定不动,保持 OCD 的形状和大小不变,将 OCD 绕着点 O 旋转(OAB 和 OCD 不能重叠),求AEB 的大小.图 1 图 2 2、(1)如图 1,现有一正方形 ABCD,将三角尺的指直角顶点放在 A 点处,两条直角边也与 CB 的延长线、DC 分别交于点 E、F请你通过观察、测量,判断 AE 与
2、 AF 之间的数量关系,并说明理由(2)将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置,PE、PF 之间有怎样的数量关系,并说明理由(3)如果将三角尺旋转到图 3 的位置,PE、PF 之间是否还具有(2)中的数量关系?如果有,请说明 3、分别是正方形的边、上的点,且,为垂足,求证:4、C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合),在 AE 同侧分别作等边和等边,AD 与 BE交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ以下五个结论:AD=BE;AP=BQ;DE=DP;CP=CQCPQ 为等边三角形 共有 2 对全等三角形 CO 平分 CO 平分 恒成立的结论有_(
3、把你认为正确的序号都填上)5、D 为等腰斜边 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当绕点 D 转动时,求证:DE=DF。(2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。6、如图,是正三角形,BDC 是顶角的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60角,角的两边分别交 AB、AC 边于M、N 两点,连接 MN探究:线段 BM、MN、NC 之间的关系,并加以证明 7、点 C 为线段 AB 上一点,ACM,CBN 都是等边三角形,线段 AN,MC 交于点 E,BM,CN 交于点 F。A B C E D O P Q K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习
4、与答案 2 求证:(1)AN=MB.(2)将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度,如图所示,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(3)AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。图 图 8、复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图,已知在中,AB=AC,P 是内部任意一点,将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ,使,连接 BQ、CP,则 BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图的分析,证明了ABQACP,从而证得 BQ=CP 之后,将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图给出证明 9、将一张透明的平行四边形胶片
5、沿对角线剪开,得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合,把绕点顺时针方向旋转,这时与相交于点 当旋转至如图位置,点,在同一直线上时,与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时,(1)中的结论还成立吗?与存在怎样的数量关系?请说明理由 10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的几何图形,B,C,E 在同一条直线上,连结 DC(1)请找出图 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:DCBE 11、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起,E、A、C 三点在一条直线上,
6、连接BD,取 BD 中点 M,连接 ME、MC,试判断EMC 的形状,并说明理由 图 1 图 2 D C E A B K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 3 12、如图,AD/BC,AD=BC,AEAD,AFAB,且 AE=AD,AF=AB,求证:AC=EF 13、如图,AEAB,ADAC,AB=AE,B=E,求证:(1)BD=CE;(2)BDCE 14、如图,BFAC 于点 F,CEAB 于点 E,且 BD=CD。求证:(1)BDECDF;(2)点 D 在A 的平分线上 15、如图 1,A、E、F、C 在同一条直线上,AE=CF,过 E、F 分别作 DEAC,BFAC,
7、(1)若 AB=CD,试说明 BD 平分 EF;(2)若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时,其余条件不变,BD 是否还平分 EF,请说明理由。16、如图,OP 是MON 的平分线,请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在中,ACB 是直角,B=60,AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图,在中,如果ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理
8、由。17、如图 1,点 M 为锐角内任意一点,连接 AM、BM、CM以 AB 为一边向外作等边,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN,连接 EN O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 4(1)求证:AMBENB;(2)若 AM+BM+CM 的值最小,则称点 M 为的费尔马点若点 M 为的费尔马点,试求此时、的度数;(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:如图 2,分别以的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF,连接 CE、BF,设交点为 M,则点 M 即为
9、的费尔马点试说明这种作法的依据 18、如图 1,四边形 ABCD 是正方形,M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D,且直角顶点E 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A,B 重合),另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F.(1)如图 1,当点 E 在 AB 边的中点位置时:通过测量 DE,EF 的长度,猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是;连接点 E 与 AD 边的中点 N,猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是;请证明你的上述两猜想.(2)如图 2,当点 E 在 AB 边上的任意位置时,请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF,进而猜想此时 DE与
10、 EF 有怎样的数量关系并证明 图 1 图 2 19、如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点,AF、DE 相交于点 G,则可得结论:AF=DE;AFDE.(不需要证明)(1)如图 2,若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图 3,若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上,且 CE=DF,此时上面的结论、是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.20、如图 1、图 2、图 3,AOB,COD
11、均是等腰直角三角形,AOBCOD90,(1)在图 1 中,AC 与 BD 相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。(2)若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达图 2 的位置,请问 AC 与 BD 还相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么?K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 5(3)若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达图 3 的位置,请问 AC 与 BD 还相等吗?还具有上问中的位置关系吗?为什么?21、如图 1,在中,BC 边在直线 l 上,ACBC,且 AC=BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,且 EF=FP(1)在图 1
12、 中,请你通过观察、测量,猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系;(2)将EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连结 AP,BQ猜想并写出 BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时,EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连结 AP,BQ你认为(2)中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由 22、如图所示,在和中,且点,在一条直线上,连接,分别为的中点(1)求证:;(2)在图的基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其
13、他条件不变,得到图所示的图形请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立.23、数学课上,张老师出示了问题:如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点,且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F,求证:AE=EF 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取 AB 的中点 M,连接 ME,则 AM=EC,易证,所以 图 1 (F)B C P A(E)l l P A E B C Q F 图 2 l B P A 图 3 E F Q C C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 6 在此基础上,同学们
14、作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图 2,如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上(除 B,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图 3,点E是BC的延长线上(除 C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 24、问题背景,如下命题:如图 1,在正三角形 ABC 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正三角形外角ACK 的平分线,若,则 AN=NM。如图 2,在
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