弹性力学第三章 应变优秀PPT.ppt
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1、弹性力学第三章 应变你现在浏览的是第一页,共66页第三章 应变3-1 变形与应变概念 3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性你现在浏览的是第二页,共66页 弹性体在受外力以后,还将发生变形。物体的变形状态,一般有两种方式来描述:1、给出各点的位移;2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移,用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下,弹性体受力以后,各点的位移并不是定值,而是坐标的函数。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第三页,共66页 由于外部因素作
2、用(荷载或温度改变等)引起物体内部各质点位置的改变称位移位移。物体内任意一点的位移,用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正。u(x、y、z)=rx Rx v(x、y、z)=ry Ry w(x、y、z)=rz Rz3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第四页,共66页位移位移变形位移变形位移刚体位移刚体位移刚体平移刚体平移刚体转动刚体转动线变形线变形角变形角变形*物体内各点之间不产生相对位移物体内各点之间不产生相对位移*物体内各点之间产生相对位移物体内各点之间产生相对位移3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第五页,共66页n由于外部因素n 物体内部各点空间位
3、置发生变化 n位移形式n刚体位移刚体位移:物体内部各点位置变化,但仍保持初始状态相对位置不变。n变形位移变形位移:位移不仅使得位置改变,而且改变了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移 3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第六页,共66页刚体位移刚体位移:物体内部各点位置变化,但仍保持初始状态相对位置不变(即其体内任意两点之间距保持不变)。刚体位移包括平行移动和转动位移刚体位移包括平行移动和转动位移3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第七页,共66页变形位移变形位移:位移不仅使得位置改变,而且改变了物体内部各个点的相对位置。即物体的形状发生改变。变形位移包括形状改变和体积改变。变
4、形位移包括形状改变和体积改变。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第八页,共66页位移位移刚性位移:反映物体整体位置的变动刚性位移:反映物体整体位置的变动变形位移:反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移:反映物体的形状和尺寸发生变化研究物体在外力作用下的变形规律,只需研究物体内各点的相对位置变动情况,即研究变形位移变形位移。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形 的剧烈程度,还需要研究物体内各点的相对位移。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第九页,共66页 一个物体受作用力后,其内部质点不仅要发生相对位置的改变(产生了位移),而且要产生形状的变化(产
5、生了变形)。物体的变形程度用应变来度量,物体在某一时刻的形态与早先的形态(一般指初始状态或未变形的状态)之间的差别就是物体在该时刻的应变。物体变形时,其体内各质点在各方向上都会有应变。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十页,共66页 外力作用下,物体各点发生位移,但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小,它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化,与应力直接相关,变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设,在各向同性线弹性的条件下,弹性常数只有两个。1、正应变2、切应变变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十一页,共66页正(线)应变正(线)应变xxdxdx
6、uu+du物体内一点 P(x,y,z)在 方向上的线应变 :变形前在P点处沿 方向所取的微线段 :变形后r的增量NP(x,y,z)变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十二页,共66页n正(线)应变线素的相对伸长或缩短正应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相对应。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十三页,共66页剪(切)应变剪(切)应变直角改变量直角改变量=+物体内一点 P(x,y,z)的两垂直方向 和 方向之间的角度变化量,称之为 和 方向的切应变。为变形后 、两垂直方向间角度的变化量 则 :变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。变形的度量变形的度量应变应变
7、你现在浏览的是第十四页,共66页,n剪(切)应变两正交线素夹角的减少剪应变以直角变小时为正,变大时为负,与剪应力的正负号规定相对应。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十五页,共66页线应变线应变、涉及受力物体内某一点;、涉及受力物体内某一点;、涉及该点的某一方向;、涉及该点的某一方向;、是一个无量纲的物理量;、是一个无量纲的物理量;、表征某点某方向伸长变形的线应变取正,表征某点某方向伸长变形的线应变取正,反之取负;反之取负;角应变角应变、涉及受力物体内某一点;、涉及受力物体内某一点;、涉及过该点的某两相垂直方向;、涉及过该点的某两相垂直方向;、是一个有单位,无量纲的物理量。、是一个有
8、单位,无量纲的物理量。、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正,反之取负。应变取正,反之取负。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十六页,共66页应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在X方向的位移分量为u,B点在X方向的位移:ABCD ABCD,求线素AB、AD的正应变 :线素AB的正应变为:同理,AD的正应变为:你现在浏览的是第十七页,共66页X向线素AB的转角 ,Y向线素AD的转角求剪应变 ,也就是线素AB与AD之间的直角的改变线素AB的转角为:A点在Y方向的位移分量为v,B点在Y方向的位移分量:应变分量与位移分量的关
9、系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第十八页,共66页同理,Y向线素AD的转角:由于变形是微小的,所以上式可将比单位值小得多的 略去,得因此,剪应变为:应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第十九页,共66页以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况,可得:应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第二十页,共66页该式表明了一点处的位该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应移分量和应变分量所应满足的关系,称为满足的关系,称为几何几何方程方程,也称为柯西,也称为柯西(Cauchy)关系。关系。几
10、何方程是用位移导数表示应变,应变描述一点的变形,但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化,因为没有考虑单元体位置的改变,即单元体的刚体位移。应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第二十一页,共66页应变分量应变分量 x、y、z、xy、yz、zx 满足张量的性质,构成一个二阶应变张量。应变张量应变张量以 xi 记 x,y,z ;以 ui 记 u,v,w 你现在浏览的是第二十二页,共66页 如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上,则在这一方向上剪应变为零,则该法线方向即为主方向(或应变主轴)。其含义为:在这些方向上,运动前是彼此垂直的,其运动后仍保持垂直,相应的应变称为主
11、应变。主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量考虑一个法线为N的斜平面,方向余弦(l1=l,l2=m,l3=n)斜平面上应变向量qN的三个分量:qNi=ij lj剪应变为零的方向就是应变主轴方向;主轴方向的应变就是主应变你现在浏览的是第二十三页,共66页主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。主应变特征方程主应变特征方程该方程一定存在三个根,设为1,2,3称为该点主应变:展开得关于 的一元三次方程:主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十四页,共66页在一定的应变状态下,物体内任一点的主应变不会随坐标系的改变而改变,因而,特征方程中的系数 J1,J2,J3 必
12、为常数,称为应变不变量。再次展开关于 的一元三次方程:主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十五页,共66页体积应变 第一应变不变量第一应变不变量第二应变不变量第二应变不变量第三应变不变量第三应变不变量 主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十六页,共66页应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量定义平均应变:应变球张量应变偏张量该应变状态只有体积等向膨胀或收缩,而没有形状畸变该应变状态只有形状畸变而没有体积改变。应变张量分解:你现在浏览的是第二十七页,共66页应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是
13、第二十八页,共66页用主应变表示应变偏量:注意,纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同,即纯剪应变的必要充分条件是kk=0,因此,eij 为纯剪状态,并且ij和eij 有相同主轴。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第二十九页,共66页应变偏张量应变偏量不变量如下:应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十页,共66页由于J2=0,应变偏张量可进一步分解并解释为都表示纯剪切变形,因此eij只与单元的剪切变形有关应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十一页,共66页应变张量的应变张量的性质
14、性质:(1)存在三个互相垂直的主方向,在该方向上线元只有线应变(主应变)而无切应变。主应变张量为主应变可由应变状态特征方程求得。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十二页,共66页(2)存在三个应变张量不变量I I1 1、I I2 2、I I3 3,且对于塑性变形,由体积不变条件,有(3)在与主应变方向成45方向上存在主切应变,其大小为若123,则最大切应变为 应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十三页,共66页(4)应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量平均线应变应变偏张量,表示变形单元体形状变化(塑性变形时,由于
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