第二节线性空间的定义与简单性质优秀PPT.ppt
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1、第二节线性空间的定义与简单性质6.2 线性空间的定义与简单性质第一页,本课件共有17页第二节第二节 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质第六章第六章 线性空间线性空间Linear Space第二页,本课件共有17页一、线性空间的概念一、线性空间的概念定义定义 1 设设 V 是一个非空集合是一个非空集合,P 是一个数域是一个数域.在集合在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法加法;这就是说,给出了一个法则,对于这就是说,给出了一个法则,对于 V 中任中任意两个元素意两个元素 与与 ,在,在 V 中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素 与它
2、们对应,称为与它们对应,称为 与与 的和,记为的和,记为 =+.在数域在数域 P 与集合与集合 V 的元素之间还定义了一种运算的元素之间还定义了一种运算,叫做叫做数量乘法数量乘法;这就是说,对于数域这就是说,对于数域 P 中任一中任一数数 k 与与 V 中任一元素中任一元素 ,在,在 V 中都有唯一的一个中都有唯一的一个第三页,本课件共有17页元素元素 与它们对应,称为与它们对应,称为 k 与与 的数量乘积,记的数量乘积,记 =k .如果加法与数量乘法满足下述规则,那如果加法与数量乘法满足下述规则,那么么 V 称为数域称为数域 P 上的线性空间上的线性空间.加法满足下面四条规则:加法满足下面四
3、条规则:1);2)()();3)在在 V 中有一个元素中有一个元素 0,对于,对于 V 中任一元素中任一元素 都有都有 +0=(具有这个性质的元素具有这个性质的元素 0 称为称为 V 的的零元素零元素);第四页,本课件共有17页4)对于对于 V 中每一个元素中每一个元素 ,都有,都有 V 中的元素中的元素 ,使得,使得 +=0(称为称为 的的负元素负元素).数量乘法满足下面两条规则:数量乘法满足下面两条规则:5)1 =;6)k(l )=(kl).数量乘法与加法满足下面两条规则:数量乘法与加法满足下面两条规则:7)(k+l)=k +l ;8)k(+)=k +k .第五页,本课件共有17页在以上规
4、则中,在以上规则中,k,l 表示数域表示数域 P 中的任意数中的任意数;,等表示集合等表示集合 V 中任意元素中任意元素.线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量.当然,这里所谓当然,这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空线性空间有时也称为间有时也称为向量空间向量空间.一般用小写的希腊字母一般用小写的希腊字母 ,表示线性空间表示线性空间 V 中的元素,用小写的中的元素,用小写的拉丁字母拉丁字母 a,b,c,表示数域表示数域 P 中的数中的数.第六页,本课件共有17页 注注 向量空间的定义可简单记为向量空间的定义可简单记为 “1128”,
5、即一个,即一个数域数域 P,这是基础域;,这是基础域;一个集合一个集合;两个运算,又两个运算,又叫做线性运算;八条规则,其中前四条是加法的运算律,叫做线性运算;八条规则,其中前四条是加法的运算律,这时称这时称对加法做成一个加群,第五、六条是数量乘法对加法做成一个加群,第五、六条是数量乘法算律,算律,最后两条是分配律,表示两种运算之间的联系最后两条是分配律,表示两种运算之间的联系.第七页,本课件共有17页 例例 1 在解析几何中,在解析几何中,平面或空间中一切向量组成平面或空间中一切向量组成的集合的集合 V,对于向量的加法及实数与向量的乘法对于向量的加法及实数与向量的乘法,构构成实数域上的一个线
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