量子力学第四章-态和力学量表象课件.ppt
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《量子力学第四章-态和力学量表象课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《量子力学第四章-态和力学量表象课件.ppt(88页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第四章第四章 态和力学量表象态和力学量表象 1 1 态的表象态的表象态的表象态的表象 2 2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示 3 3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述 4 Dirac 4 Dirac 符号符号符号符号 5 5 从抽象表述到具体表示从抽象表述到具体表示从抽象表述到具体表示从抽象表述到具体表示 6 6 线性谐振子的算法理论线性谐振子的算法理论线性谐振子的算法理论线性谐振子的算法理论 7 7 表象变化表象变化表象变化表象变化(一)动量表象(一)动量表象(二)能量表象(二)能量表象 (三)力学量表象(三)
2、力学量表象 (四)讨论(四)讨论1 态的表象到目前为止,体系的状态都用坐标到目前为止,体系的状态都用坐标(x,y,z)(x,y,z)的函数表示,也就是说的函数表示,也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的,这正如几何学中选用坐标系但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的,这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等,但它们对不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等,但它们对空间的描写是完全是等价的。空间的
3、描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数,波函数也可以选用其它变量的函数,力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象:量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用表象:量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象,下面我们要介绍其他表象。的是坐标表象,下面我们要介绍其他表象。在坐标表象中,体系的状态用波函数在坐标表象中,体系的状态用波函数(x,t)(x,t)描写,这样一个态如描写,这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数
4、:动量本征函数:组成完成完备系,任一系,任一状状态可按其展开可按其展开展开系数展开系数假假设 (x,t)(x,t)是是归一化波函数,一化波函数,则 C(p,t)C(p,t)也是也是归一。一。命命题证(一)动量表象(一)动量表象|C(p,t)|C(p,t)|2 2 d p d p 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中,测量粒子的动量所得结果在所描写的状态中,测量粒子的动量所得结果在 p p+d p p p+d p 范围内的几率。范围内的几率。|(x,t)|(x,t)|2 2d x d x 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中,测量粒子的位置所得结果在所描写的状态中,测量粒子的位置所得
5、结果在 x x+d x x x+d x 范围内的几率。范围内的几率。(x,t)(x,t)与与 C(p,t)C(p,t)一一 一一 对应,描述同一状,描述同一状态。(x,t)(x,t)是是该状状态在坐在坐标表象中的波函数;表象中的波函数;而而C(p,t)C(p,t)就是就是该状状态在在动量表象中的波函数。量表象中的波函数。C(p,t)C(p,t)物理意物理意义若若(x,t)(x,t)描写的态是具有确描写的态是具有确定动量定动量 p p 的自由粒子态,的自由粒子态,即:即:则相相应动量表象中的波函数:量表象中的波函数:所以,在所以,在动量表象中,量表象中,具有确定具有确定动量量p p的粒的粒 子的
6、波函数是以子的波函数是以动量量 p p为变量的量的-函数。函数。换言之,言之,动量本征函量本征函 数在自身表象中是一数在自身表象中是一 个个函数。函数。x x 在自身表象即坐在自身表象即坐标表象中表象中对应 有确定有确定值 x x本征函数是本征函数是 (x-x)(x-x)。同同样这可由本征可由本征 值方程看出:方程看出:例如例如(二)能量表象(二)能量表象能量表象波函数能量表象波函数那末,在任一力学量那末,在任一力学量Q Q表象中,表象中,(x,t)(x,t)所描写的态又如何表示呢?所描写的态又如何表示呢?推广上述讨论:推广上述讨论:x,px,p都是力学量,分别对应有坐标表象和动量表象,都是力
7、学量,分别对应有坐标表象和动量表象,因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象,称为力都建立一种表象,称为力学量学量 Q Q 表象。表象。问题问题(1)具有分立本征值的情况)具有分立本征值的情况(2)含有连续本征值情况)含有连续本征值情况(三)力学量表象(三)力学量表象(1)具有分立本征)具有分立本征值的情况的情况设 算符算符Q的本征的本征值为:Q1,Q2,.,Qn,.,相相应本征函数本征函数为:u1(x),u2(x),.,un(x),.。将将(x,t)按按 Q 的的 本征函数展开:本征函数展开:若若,un都是都是归一化的,一化的,则 an(t)也是也是归一化的一化的。证:由
8、此可知,由此可知,|a|an n|2 2 表示表示 在在(x,t)(x,t)所描述的状所描述的状态 中中测量量Q Q得得Q Qn n的几率。的几率。a a1 1(t),a(t),a2 2(t),.,a(t),.,an n(t),.(t),.就是就是(x,t)所描写状所描写状态在在Q表象中的表示。表象中的表示。写成写成 矩阵形式矩阵形式共共轭矩矩阵归一化可写一化可写为(2)含有)含有连续本征本征值情况情况例如例如氢原子能量就是原子能量就是这样一种力学量,一种力学量,即有分立也有即有分立也有连续本征本征值。设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为:的本征值和本征函数分别为:Q1,Q2,.
9、,Qn,.,qu1(x),u2(x),.,un(x),.,uq(x)则归一化则变为:归一化则变为:|an(t)|2 是在是在(x,t)态中中测量力学量量力学量 Q 所得所得结果果为 Qn 的几率;的几率;|aq(t)|2dq 是在是在(x,t)态中中 测量力学量量力学量 Q 所得所得结果在果在 q q+d q之之间的几率。的几率。在在这样的表象中,的表象中,仍可以用一个列矩仍可以用一个列矩阵表示:表示:归一化仍可表一化仍可表为:+=1这这类类似似于于一一个个矢矢量量可可以以在在不不同同坐坐标标系系描描写写一一样样。矢矢量量 A在在直直角角坐坐标标系系由由三三分分量量Ax Ay Az 描描述述;
10、在在球球坐坐标标系系用用三三分分量量Ar A A 描描述述。Ax Ay Az 和和 Ar,A,A 形形式式不不同同,但但描写同一矢量描写同一矢量A。态矢量矢量基本矢量基本矢量同一状同一状态可以在不同表象用波函数描写,表象不同,可以在不同表象用波函数描写,表象不同,波函数的形式也不同,但是它波函数的形式也不同,但是它们描写同一状描写同一状态。(四)(四)讨论波函数波函数是是态态矢矢量量在在Q Q表表象象中中沿沿各各基基矢矢方方向向上上的的“分分量量”。Q Q表表象象的的基基矢矢有有无无限限多多个个,所所以以态态矢矢量量所所在在的的空空间间是是一一个个无无限限维维的的抽抽象象的的函函数数空空间,称
11、为间,称为HilbertHilbert空间。空间。所以我们可以把状态所以我们可以把状态看成是一个矢量看成是一个矢量态矢量。态矢量。选取一个特定力学量选取一个特定力学量 Q Q 表象表象,相当于选取特定的坐标系,相当于选取特定的坐标系,u1(x),u2(x),.,un(x),.是是 Q 表象表象 的基本矢量的基本矢量简称称基矢基矢。(一)力学量算符的矩阵表示(一)力学量算符的矩阵表示(二)(二)Q 表象中力学量算符表象中力学量算符F的性质的性质(三)(三)Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况算符的矩阵表示算符的矩阵表示坐坐标表象:表象:Q表象:表象:假设只有分立本征值,将假设只有分立本征值,
12、将,按按uun n(x)(x)展开:展开:两边左乘两边左乘 u*u*n n(x)(x)并对并对 x x 积分积分Q Q表象的表象的 表达方式表达方式代入代入(一)力学量算符的矩阵表示(一)力学量算符的矩阵表示Q表象的表达方式表象的表达方式F 在在 Q 表象中是一个矩表象中是一个矩阵,Fnm 是其矩是其矩阵元元=F简写成写成写成矩写成矩阵形式形式写写成成矩矩阵例例 1:求:求 Lx 在在 L2,Lz 共同表象,共同表象,=1子空子空间中的矩中的矩阵表示。表示。令:令:u u1 1=Y=Y11 11 u u2 2=Y=Y10 10,u,u3 3=Y=Y1-11-1 Lx矩矩阵是是33矩矩阵计算中算
13、中 使用了使用了 公式公式由此得由此得Lx矩矩阵元元(L(Lx x)11 11=(L=(Lx x)22 22=(L=(Lx x)33 33=0 =0 (L(Lx x)13 13=(L=(Lx x)31 31=0=0(L(Lx x)12 12=(L=(Lx x)21 21=(L=(Lx x)23 23=(L=(Lx x)32 32=/2/21/21/2Lz在自身表象中具有最在自身表象中具有最简 单形式,是一个形式,是一个对角矩角矩阵,对角元素就是角元素就是 Lz的本征的本征值。同理可得同理可得Ly Lz则 L Lx x 的矩的矩阵元可如下元可如下计算:算:(1 1)力学量算符用厄密矩)力学量算符
14、用厄密矩阵表示表示所以厄密算符的矩阵所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。表示是一厄密矩阵。例例2 2:在例:在例1 1中给出了中给出了 L Lx x,L Ly y在在 L L2 2,L,Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵形式,下面我们验证一下形式,下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。这两个矩阵是厄密矩阵。厄密矩厄密矩阵(二)(二)Q Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质(2 2)力学量算符在自身表象中的形式)力学量算符在自身表象中的形式Q的矩的矩阵形式形式结论:算符在自身表象中是一算符在自身表象中是一对角矩角矩阵,对角元素就角元素就是算符的本征是算符的本征值。(1)只有)
15、只有连续本征本征值如果如果 Q Q只有连续本征值只有连续本征值q q,上面的讨论仍然适用,上面的讨论仍然适用,只需将只需将u,a,bu,a,b的角标从可数的的角标从可数的 n,m n,m 换成连续变换成连续变化的化的 q q,求和换成积分,见下表。,求和换成积分,见下表。分立分立谱连续谱算符算符F在在Q表象仍是一个表象仍是一个矩矩阵,矩,矩阵元由下式确定:元由下式确定:只是该矩阵的行列只是该矩阵的行列是不是可数的,而是不是可数的,而是用连续下标表示是用连续下标表示(三)(三)Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况例例3 3:求坐:求坐标表象中表象中 F F的矩的矩阵元元例例4:求求动量表
16、象中量表象中 F的矩的矩阵元元要要计算此算此积分,需要分,需要 知道知道 F的具体形式的具体形式.(一)正交(一)正交归一化条件一化条件(二)平均(二)平均值公式公式(三)本征方程(三)本征方程 (四)(四)SchrodingerSchrodinger方程的矩方程的矩阵形式形式3 3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述坐坐标表象中的表象中的归一化条件一化条件在在Q表象中的表象中的归一化:一化:写成矩写成矩阵形式形式(一)正交归一化条件(一)正交归一化条件坐坐标表象中的正交条件表象中的正交条件在在Q表象中的正交:表象中的正交:写成矩写成矩阵形式形式同理同理坐坐标表象平均表象平均值公式公
17、式在在Q表象中表象中式右写成矩式右写成矩阵相乘形式相乘形式简写成写成(二)平均值公式(二)平均值公式写成矩写成矩阵形式形式表成表成显式式整整 理理 改改 写写上式是一个上式是一个齐次次线性方程性方程组方程方程组有不完全有不完全为零解的条件是零解的条件是系数行列式等于零系数行列式等于零久久 期期 方方 程程求解此久期方程得到一求解此久期方程得到一组值:1,2,.,n,.就是就是F的本征的本征值。将其分将其分别代入原代入原齐次次线性方程性方程组就能就能得到相得到相应于各于各i的本征矢的本征矢于是求解微分方程的问题就化于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。成了求解代数方程根的问题。(二
18、)本征方程(二)本征方程例例1 1:本征函数本征函数 u um m(x)(x)在自身表象中的矩阵表示。在自身表象中的矩阵表示。将将 u um m(x)(x)按按 的本征函数展开:的本征函数展开:显 然然 有有所以所以 u um m(x)(x)在自身表象中的矩阵表示如下:在自身表象中的矩阵表示如下:例如:例如:L L2 2,L,Lz z的共同本征函数的共同本征函数 Y Y1111,Y,Y1010,Y,Y1-11-1.在在 L L2 2,L,Lz z 的共的共 同表象中的矩阵形式就特别简单同表象中的矩阵形式就特别简单。例例2 2:求:求 L Lx x本征态在本征态在 L Lz z表象中的矩阵表象中
19、的矩阵表示,只讨论表示,只讨论(=1)=1)情况。情况。Lx的本征方程的本征方程为:解解欲得欲得a1,a2,a3 不全不全为零的解,必零的解,必须要求系数行列式等于零要求系数行列式等于零(-2+2)=0 解得本征解得本征值=0,=0,.取取=代入本征方程得:代入本征方程得:解得:解得:a1=(1/21/2)a2 a3=(1/21/2)a2 由由归一化一化 条件定条件定 a2为简单计 取取实数数同理得另外两个本征同理得另外两个本征值相相应本征函数本征函数则 =1,Lx=的本征的本征态 可可记为:写写 到到 Q 表表 象象按力学量算符按力学量算符 Q的本征函数展开的本征函数展开左乘左乘 um*(t
20、)对 x 整个空整个空间积分分 H H 都是矩阵都是矩阵简写简写(四)(四)SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式作作 业业4.1、4.5补充习题补充习题 在在F F表象中,算符表象中,算符 的表示为的表示为 ,求,求Q Q的本征值及正交归一本证函数。的本征值及正交归一本证函数。4 Dirac 符号符号(一)引一)引 (二二)态矢量态矢量 (三)算符(三)算符 (四)总结(四)总结l前四章给出的都是前四章给出的都是 X-X-表象中的形式,本章中给出了任表象中的形式,本章中给出了任一力学量一力学量 Q-Q-表象中的形式,它们都是取定了某一具体的表象中的形式,它们
21、都是取定了某一具体的力学量空间力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外,也可以不取定表象,正如几何学和经典力用具体表象外,也可以不取定表象,正如几何学和经典力学中也可用矢量形式学中也可用矢量形式 A A 来表示一个矢量,而不用具体坐来表示一个矢量,而不用具体坐标系中的分量标系中的分量(A(Ax x,A,Ay y,A,Az z)表示一样。表示一样。l量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由律。这种抽象的描述方法是由 Dirac Dirac 首先引用的,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 量子力学 第四 力学 量表 课件
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内