高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结31136.pdf
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1、.1/18 高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”的限制条件:椭圆中,与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于21FF,当常数等于21FF时,轨迹是线段 F1F2,当常数小于21FF时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2为端点的两条射线,若2a|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。(2)第二定义中要注意定点和定直线
2、是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习:1.已知定点)0,3(),0,3(21FF,在满足以下条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是(答:C);A421 PFPF B621 PFPF C1021 PFPF D122221 PFPF 2.方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_(答:双曲线的左支)3.已知点)0,22(Q与抛物线42xy 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_(答:2)二.圆锥曲线的标准方程(标准方程是
3、指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x轴上时12222byax(0ab)cossinxayb(参数方程,其中为参数),焦点在y轴上时2222bxay1(0ab)。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么?(ABC0,且 A,B,C 同号,AB)。(2)双曲线:焦点在x轴上:2222byax=1,焦点在y轴上:2222bxay1(0,0ab)。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且 A,B 异号)。(3)抛物线:开口向右时22(0)ypx p,开口向左时22(0)ypx p,开口向上时22(0)xpy p,开口向下时22(0)xpy
4、 p。.2/18 练习:1.已知方程12322kykx表示椭圆,则k的取值围为_(答:11(3,)(,2)22);2.若Ryx,,且62322 yx,则yx的最大值是_,22yx 的最小值是_(答:5,2)3.双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922yx有公共焦点,则该双曲线的方程_ 4.设中心在坐标原点O,焦点1F、2F在坐标轴上,离心率2e的双曲线 C 过点)10,4(P,则 C 的方程为_(答:226xy)5.已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值围是_ 三.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定,焦
5、点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线:由x2,y2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,222abc,在双曲线中,c最大,222cab。四.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以12222byax(0ab)为例):围:,axabyb ;焦点:
6、两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0 xy,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)ab,其中长轴长为 2a,短轴长为 2b;准线:两条准线2axc;离心率:cea,椭圆01e,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。(2)双曲线(以22221xyab(0,0ab)为例):围:xa 或,xa yR;焦点:两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0 xy,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a,其中实轴长为 2a,虚轴长为 2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为22,0 xyk k;准线:两条准线2axc;离心率:cea,双曲线1e,等轴双曲线.3
7、/18 2e,e越小,开口越小,e越大,开口越大;两条渐近线:byxa。(3)抛物线(以22(0)ypx p为例):围:0,xyR;焦点:一个焦点(,0)2p,其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴0y,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);准线:一条准线2px ;离心率:cea,抛物线1e。练习:1.若椭圆1522myx的离心率510e,则m的值是_(答:3 或325);2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为_ 3.双曲线的渐近线方程是023 yx,则该双曲线的离心率等于_(答:132或133);4.双曲线221axby的离心
8、率为5,则:a b=(答:4 或14);5.设双曲线12222byax(a0,b0)中,离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值围是_(答:,3 2);6.设Raa,0,则抛物线24axy 的焦点坐标为_(答:)161,0(a);五、点00(,)P xy和椭圆12222byax(0ab)的关系:(1)点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab;(2)点00(,)P xy在椭圆上220220byax1;(3)点00(,)P xy在椭圆2200221xyab 六直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:0 直线与椭圆相交;0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近
9、线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(2)相切:0 直线与椭圆相切;0 直线与双曲线相切;0 直线与抛物线相切;(3)相离:0 直线与椭圆相离;0 直线与双曲线相离;0 直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直
10、.4/18 线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;P 为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习:1.若直线 y=kx+2 与双
11、曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值围是_ 2.直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点,则 m 的取值围是_ 3.过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若AB4,则这样的直线有_条 4.过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点,这样的直线有_(答:2);5.过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值围为_ 6.过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于 A、B 两点,若AB4,则满足条件的直线l有_ 7.对于抛物线 C:xy42,我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的部,若点)
12、,(00yxM在抛物线的部,则直线l:)(200 xxyy与抛物线 C 的位置关系是_(答:相离);8.过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q,则qp11_(答:1);9.设双曲线191622yx的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,,则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于)(答:等于);10.求椭圆284722 yx上的点到直线01623 yx的最短距离(答:8 1313);11.直线1 axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?当a为何值时,以
13、 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:3,3;1a );七、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到.5/18 相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。练习:1.已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为_(答:353);2.已知抛物线方程为xy82,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于_;3.若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4,则点M的坐标为_(答:7,(2,4));4.点 P 在椭圆192522yx上,它到左焦点的距离是它到右焦点
14、距离的两倍,则点 P 的横坐标为_ 5.抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到y轴的距离为_ 6.椭圆13422yx有一点)1,1(P,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使MFMP2 之值最小,则点M 的坐标为_(答:)1,362();八、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r,焦点12FPF的面积为S,则在椭圆12222byax中,)12arccos(212rrb,且当12rr即P为短轴端点时,最大为max222
15、arccosacb;20tan|2Sbc y,当0|yb即P为短轴端点时,maxS的最大值为bc;对于双曲线22221xyab的焦点三角形有:21221arccosrrb;2cotsin21221brrS。练习:1.短轴长为5,离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F,过1F作直线交椭圆于 A、B 两点,则2ABF的周长为_(答:6);2.设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点,F1、F2是左右焦点,若0212FFPF,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:224xy);3.椭圆22194xy的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2PF10 时,点 P 的横坐标的取值
16、围是(答:3 5 3 5(,)55);.6/18 4.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e26,F1、F2是它的左右焦点,若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且AB是2AF与2BF等差中项,则AB_(答:8 2);5.已知双曲线的离心率为 2,F1、F2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且6021PFF,31221FPFS 求该双曲线的标准方程(答:221412xy);九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设 AB 为焦点弦,M 为准线与 x 轴的交点,则AMFBMF;(3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A1,B
17、1,若 P 为 A1B1的中点,则 PAPB;(4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。十、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B,且12,x x分别为 A、B 的横坐标,则AB2121kxx,若12,y y分别为 A、B 的纵坐标,则AB21211yyk,若弦 AB 所在直线方程设为xkyb,则AB2121kyy。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。练习:1.过抛物线 y2=4x 的焦点
18、作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_ 2.过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则ABC 重心的横坐标为_(答:3);十一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中,以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb;在双曲线22221xyab中,以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb;在抛物线22(0)ypx p中,以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0py。练习:1.如
19、果椭圆221369xy弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:280 xy);2.已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x2y=0.7/18 上,则此椭圆的离心率为_(答:22);特别提醒:因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!十二你了解以下结论吗?(1)双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax;(2)以xaby为渐近线(即与双曲线12222byax共渐近线)的双曲线方程为(2222byax为参数,0)。(3)中心在原点,坐标轴为对称
20、轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为22ba,焦准距(焦点到相应准线的距离)为2bc,抛物线的通径为2p,焦准距为p;(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB,1122(,),(,)A x yB xy,则12|ABxxp;221212,4px xy yp (7)若 OA、OB 是过抛物线22(0)ypx p顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点(2,0)p13动点轨迹方程:(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的围;(2)求轨迹方程的常用方法:直
21、接法:直接利用条件建立,x y之间的关系(,)0F x y;如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程(答:212(4)(34)yxx 或24(03)yxx);待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0))0(m,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:22yx);定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点 P向圆221x
22、y作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,APB=600,则动点 P 的轨迹方程为(答:224xy);(2).8/18 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl:的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_(答:216yx);(3)一动圆与两圆M:122 yx和N:012822xyx都外切,则动圆圆心的轨迹为(答:双曲线的一支);代入转移法:动点(,)P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化,并且00(,)Q xy又在某已知曲线上,则可先用,x y的代数式表示00,xy,再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点 P 是抛物线122 xy上任一点,定点为)1,0
23、(A,点 M 分PA所成的比为2,则M 的轨迹方程为 _(答:3162xy);参数法:当动点(,)P x y坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将,x y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MNAB,垂足为 N,在 OM 上取点P,使|OPMN,求点P的轨迹。(答:22|xya y);(2)若点),(11yxP在圆122 yx上运动,则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是_(答:2121(|)2yxx);(3)过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛物线于 A、B 两点,则
24、弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是_(答:222xy);注意:如果问题中涉与到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已 知 椭 圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是 F1(c,0)、F2(c,0),Q 是椭圆外的动点,满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q上,并且满足.0|,022TFTFPT(1)设x为 点 P 的 横 坐 标,证 明xacaPF|1;(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点
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