同济大学线性代数.pptx
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1、2023/3/1111 矩阵的初等变换引例 求解线性方程组第1页/共59页2023/3/112用消元法第2页/共59页2023/3/113第3页/共59页2023/3/114令代入方程组,得解第4页/共59页2023/3/115消元法的三类变换:(1)对调二个方程的次序;(2)以非零的数 k 乘某个方程;(3)一个方程加上另一个方程的 k 倍由于三类变换都是可逆的,因此变换前的方程组与变换后是同解的第5页/共59页2023/3/116定义1 1:下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)初等行变换和初等列变换统称初等变换。第6页/共59页2023/3/
2、117三类初等变换都是可逆的,并且其逆变换是同一类的初等变换。第7页/共59页2023/3/118若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B,则称 A 与B 等价,记作 A B.矩阵的等价关系满足:反身性 A A;对称性 若A B,则B A;传递性 若A B,B C,则A C。第8页/共59页2023/3/119(1)(1)的增广矩阵线性方程组第9页/共59页2023/3/1110第10页/共59页2023/3/1111行阶梯形第11页/共59页2023/3/1112行最简形令第12页/共59页2023/3/1113等价标准形第13页/共59页2023/3/1114任一 mn 矩阵 A 都等价于一
3、个如下的矩阵 称为A的等价标准形。第14页/共59页2023/3/11152 初等矩阵定义2:由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应第15页/共59页2023/3/1116第16页/共59页2023/3/1117第17页/共59页2023/3/1118第18页/共59页2023/3/1119三类初等矩阵:其中第19页/共59页2023/3/1120三类初等矩阵都是可逆的,并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。第20页/共59页2023/3/1121定理1:设 A 为mn 矩阵,则 第21页/共59页2023/3/1122第22页/共59页2023
4、/3/1123方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。定理2:证明:充分性.必要性.第23页/共59页2023/3/1124方阵 A可逆的充要条件是 A E推论1:推论2:mn阵 A与 B等价的充要条件是存在 m阶可逆阵 P和 n阶可逆阵 Q,使得 PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。第24页/共59页2023/3/1125例.第25页/共59页2023/3/1126即第26页/共59页2023/3/1127解:例:第27页/共59页2023/3/1128第28页/共59页2023/3/1129第29页/共59页2023/3/1130例:解:初等行变换第30页/共
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