线性代数 同济大学第七.pptx
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1、1课程简介 线性代数是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础理论课程,它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。通过该课程的学习,使学生掌握该课程的基本理论和基本方法,且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证,因此该课程历来受到各高等院校的高度重视。根据成人的特点,在总结多年成人教育经验的基础下,对线性代数的教学内容作了认真精选,叙述间明扼要,由潜入深、通俗易懂,力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解行列式、矩
2、阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。第1页/共272页2主要内容 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵 第三章 线性方程组第2页/共272页3第一章行列式 行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、三阶行列式的计算,以及用这工具来解二元、三元线性方程组。式,为此首先引入行列式的概念。在本书研究多元线性方程组的解,以及研究矩阵性质时也要用到行列第3页/共272页4第一章行列式 第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 行列式的计算举例 第五节 克莱姆法则主主要要内内容容第4页/共272页5第一节行列式的概念一、行列式的概念 为了更好掌握行
3、列式的定义,我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义 1.1】【例 1.1】要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。式的定义。一阶行列式由一个数组成,记为 第5页/共272页6第一节行列式的概念表示,且规定:其中,元素 称为行列式的第 行第 列的元素 ;称为元素 的代数余子式;而 是行列 【定义 1.2】二阶行列式是由 个元素排成2行2列,用素 的余子式。式中划去第 行和第 列元素,后所剩下的元素组成的行列式,称为元第6页/共272页7第一节行列式的概念 则二阶行列式 显然在定义中,而 ;这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。第7页/共272页8第一节行列式的概念 【例 1.2
4、】求二阶行列式 的值。解或第8页/共272页9第一节行列式的概念 【定义 1.3】三阶行列式是由 个元素排成的3行3列,用 表示,且规定:其中:第9页/共272页10第一节行列式的概念 称 为 的余子式,它是在三阶行列式中划去 所在的行及列后按原次序所成的二阶行列式,称 为 的代数余子式;为 的代数 余子式。一般地,就是三阶行列式中划去 所在的第 行和第 列剩下的元素按原次序构成的二阶行列式,称为元素 的余子式。称为元素 的代数余子式。第10页/共272页11第一节行列式的概念 【例 1.3】解 由上面定义,因为 计算三阶行列式 的值。所以 第11页/共272页12第一节行列式的概念 从上面三
5、阶行列式的定义可以看到:我们在计算三阶行列式时,是用其第一行的元素乘它的代数余子式之和,而代数余子式又是由二阶行列式构成的。用这一思想,我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义 1.4】当 时,假设已定义了 阶行列式,阶行列式是由 个元素排成行和列组成,记为:第12页/共272页13第一节行列式的概念 且规定其值为:其中,表示元素 的余子式,它是 中划去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原来的次序构成的 阶行列式。称为 的代数余子式。第13页/共272页14第一节行列式的概念 【例 1.4】解计算四阶行列式 从以上定义及例子可以看到,阶行列式由 个元素构成,每个
6、行列式都表示一个数值,且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。第14页/共272页15第一节行列式的概念 我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。【定义 1.5】对于 阶行列式 ,列元素后,按原次序排列构成的 阶行列式。称为元素 的余子式,称为元素 的代数 余子式 。其中,是 中划去元素 所在的行和第15页/共272页16第一节行列式的概念 【例 1.5】解求行列式 的元素 和 的代数余子式。所以 因为 的余子式 的余子式 的代数余子式 的余子式 第16页/共272页17第二节行列式的性质 在上一节行列式定义 中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程,因
7、此行列式的阶数越高,计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。第17页/共272页18第二节行列式的性质 【定义 1.6】交换行列式D的行与列所得的行列式,称为D的转置行列式,记为 或 。设则 【例 1.6】若则第18页/共272页19第二节行列式的性质 性质1 转置行列式的值等于原行列式的值,即 。在例1.6中的二个行列式 的值相等,即 根据这一性质,阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开即:这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。第19页/共272页20第二节行列式的性质 性质2 交换行列式的任意两行(列)元素,行列式的值变号。【例 1.7】交换以下行列式D的第一行
8、和第三行,有 素(仍为D),即得 ,移项得 ,于是 。为零。特别地,当行列式中有两行(列)对应元素都相同时,行列式的值 因假设D中的第 行和第 行对应元素相同,交换第 行和第 行元第20页/共272页21 【例 1.8】第二节行列式的性质 以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得,在这我们省略。行列式(因为第一行与第三行相同)第21页/共272页22第二节行列式的性质 性质3 【例 1.9】行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。这相当于行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数 ,行列式的值扩大 倍。第22页/共272页23
9、第二节行列式的性质 性质4 行列式中两行(列)对应元素都成比例,行列式值为零。与第 行相同,于是行列式的值为零。设第 行为第 行的 倍,由性质3,将 行提出公因子 ,即得第 行 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第 列的元素都是两数之和:第23页/共272页24第二节行列式的性质利用这一性质:则 等于下列两列行列式之和:第24页/共272页25第二节行列式的性质 性质6 应元素上去,行列式值不变。即 把行列式某行(列)各元素的 倍加到另一行(列)的对 这一性质由性质3和性质4直接得到。利用这些性质可以简化行列式的计算。另外我们用 表示第 行,表示第 列。表示交换第 行与第行
10、,表示第 行乘 倍;表示把第 行乘 倍加到第 行上去。第25页/共272页26 【例 1.10】第二节行列式的性质解 利用行列式性质计算行列式 下页继续 第26页/共272页27第二节行列式的性质然后按行列式定义,得:熟练以后,这几步也可以合并为:(这里也可用 )第27页/共272页28第三节行列式按行(列)展开 根据行列式定义,行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广。【定理1.1】若 阶行列式 中除 外,第 行(或 列)的其余元素都为零,那么 可按第 行(或 列)展开为 。证明 设第 行除 ,其余元素都为零。第28页/共272页29第三节行列
11、式按行(列)展开 现将第 行和第 行对换,再与第 行对换,经过 次对换,含 的原第 行就换到第一行,行列式的值应乘 ,类似经 过 次列对换,可将含 的列变到第一列,即 因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是 中的(划去原第 行和原第 列)。第29页/共272页30第三节行列式按行(列)展开 【定理1.2】(拉普拉斯展开)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 阶行列式等于它的任意一行(列)或第30页/共272页31 证明 n阶行列式等于它的任意一行(列)第三节行列式按行(列)展开第31页/共272页32第三节行列式按行(列)展开 【定理1.3】应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
12、行列式 的任意一行(列)各元素与另一行(列)的对 或 证明将 的第 行元素 换成 所成的新行列式的第 行与第 行相同;于是新的行列式值为零,另一方面,新行列式可按第 行展开,得:第32页/共272页33第三节行列式按行(列)展开 综合定理1.2和定理1.3,得:也就是行列式 的任意一行(列)各元素与这一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于行列式的值;行列式 的任意一行(列)各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。利用行列式性质将某行(列)的元素尽可能化为零,然后展开,可简化行列式的计算。或第33页/共272页34第三节行列式按行(列)展开 【例 1.11】解1从第三列着
13、手,再变出一个零元素。计算行列式 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零,于是 (按第3列展开得)(再按第3列展开得)下页继续 第34页/共272页35第三节行列式按行(列)展开 解2是用第4行减第1行也可同时出现3个零,然后按第4行展开,既得:本题也可以这样解:第4行与第1行有三个对应元素相同,于第35页/共272页36第三节行列式按行(列)展开 【例 1.12】解的系数。行列式 是关于 的一次多项式,求一次项由于行列式中 在其第二行,按第二行展开,可得:可以看到,一次项 的系数就是 的代数余子式 第36页/共272页37第三节行列式按行(列)展开 【例 1.13】计算行列式的值解
14、(按第4行展开得)(按第3列展开得)第37页/共272页38第四节行列式的计算举例 本节主要对有某些特殊的行列式的计算进行介绍。我们把 阶行列式 的从左上角到右下角含 的连线称为主对角线。第38页/共272页39第四节行列式的计算举例一、对角行列式 其中,除主对角线上的元素 外,其余省略的元素皆为零。显然:即对角行列式的值等于主对角线上元素之积。对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少有一个元素为零。第39页/共272页40第四节行列式的计算举例 【例 1.14】计算行列式 (没写出的元素皆为零)解 经过 次列交换,可将最后一列换到第1列。第40页/共272页41二、三角行列式 上三角行列式
15、第四节行列式的计算举例 下三角行列式 第41页/共272页42 很容易得出三角行列式的值仍等于主对角线元素的积。第四节行列式的计算举例 如行列式 就是一个上三角行列式,其值等于 。第42页/共272页43 一般行列式计算都可采用化为上(下)三角行列式来计算。第四节行列式的计算举例 【例 1.15】计算行列式解 因为每行各元素之和相等(为6),我们可以“统加”,即多次用 的性质。本例可采用第2列加到第1列,第3列加到第1列,第4列加到第1列,得第43页/共272页44第四节行列式的计算举例 【例 1.16】解 从第2列起,每列加到第1列上,得解 阶行列式(从第2行起每行减去第1行得)第44页/共
16、272页45第四节行列式的计算举例 【例 1.17】解 从第2行起,每行减去第1行,得 解 阶行列式方程于是:解得:第45页/共272页46第四节行列式的计算举例 【例 1.18】解 将各列加到第一列,得计算 阶行列式第46页/共272页47第四节行列式的计算举例 第1列提取公因子。从第2行起,每行减去第1行,得第47页/共272页48三、按行或列展开解 按第1列展开,得第四节行列式的计算举例 有些行列式不易变成某行(列)只有一个非零元素,例如变成两个非零元素,则行列式值等于这两个元素与对应代数余子式积的和。【例 1.19】计算 阶行列式第48页/共272页49四、采用递推方式来解行列式 解
17、按最后一列展开,得 第四节行列式的计算举例 【例 1.20】计算下列 阶行列式同样推理可得:于是 第49页/共272页50第四节行列式的计算举例 【例 1.21】计算下列 阶行列式(没写出的元素皆为零)下页继续 第50页/共272页51第四节行列式的计算举例解 按第1行展开,得 两个行列式分别再按最后一行展开,得 同样推理可得于是第51页/共272页52第四节行列式的计算举例 【例 1.22】解 从第一列提取公因子 ,然后把第1列加到第2列,得计算 阶行列式下页继续 第52页/共272页53第四节行列式的计算举例第二列提取公因子 后,按第1行展开,得第53页/共272页54五、范德蒙行列式 第
18、四节行列式的计算举例 行列式 称为 阶的范德蒙行列式 下面我们来计算此行列式的值 第54页/共272页55第四节行列式的计算举例解此题自下而上,即从第 行开始,后行减去前行的 倍。即得 分别按各列提取公因子,得:第55页/共272页56同理可推得第四节行列式的计算举例其中,符号表示统乘,即各 之间用乘号链接。可以看到:范德蒙行列式为零的充分必要条件为 中至少有 两个相等。第56页/共272页57 【例 1.23】第四节行列式的计算举例计算行列式解第57页/共272页58第四节行列式的计算举例 【例 1.24】求证:证明等式左边各行分别乘 :(提 因子)(三次列对换)第58页/共272页59综合
19、以上例题,行列式的计算可以按以下步骤来进行:首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面.如果发现行列第四节行列式的计算举例 然后利用性质总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计 或者利用性质将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0,其式有两行或者两列成比例,则行列式的值为0。算其对角线上的乘积。其余元素均为0,然后再按那行(列)展开,降阶成低阶的行列式。第59页/共272页60第五节克莱姆法则一、用行列式表示二元及三元线性方程组的解 二元线性方程组 用二阶行列式可表示为 ,若 ,可用消元法解得 第60页/共272页61其中:为二元线性方程组中未知数 的系数构成第五节克莱姆法则
20、的行列式;为用常数项代替 中的第一列;为用常数项代替 中的第二列。第61页/共272页62 【例 1.4】解二元线性方程组 第五节克莱姆法则解 可用二阶行列式得 第62页/共272页63第五节克莱姆法则对于三元线性方程组 同样可以由消元法得到;当 时,其中:第63页/共272页64第五节克莱姆法则用三阶行列式表示以上的 ,可以得到:当 时,有 其中:第64页/共272页65 【例 1.5】第五节克莱姆法则解线性方程组 解故 第65页/共272页66 【定理 1.4】(克莱姆法则)第五节克莱姆法则如果 元并非齐次线性方程组(1)的系数行列式 ,则方程组有唯一解,且 其中,是将 中的第 列用常数列
21、替换而成的行列式。二、克莱姆法则 以上用行列式解线性方程组可以推广为n元线性方程组情形。第66页/共272页67 【例 1.25】第五节克莱姆法则解 解线性方程组 故 第67页/共272页68第五节克莱姆法则 线性方程组(1)中等式右端常数均为零时,称为n元齐次线性方程组,也称为n元非齐次线性方程组(1)导出组。即n元齐次线性方程组(2)由克莱姆法则,若系数行列式 ,则n元齐次线性方程组(2)只有零解:要方程组有非零解(即至少有某个 ),必须有 。关于解线性方程组的问题,我们在第三章还要祥细介绍。第68页/共272页69 【例 1.26】第五节克莱姆法则解 由于非齐次线性方程组有非零解,则其系
22、数矩阵的行列式为零,即 设线性方程组 有非零解,求 的值。第69页/共272页70第二章矩阵 矩阵是应用非常广泛的数学工具,也是线性代数的主要研究对象之一。运用矩阵的运算法则,会用伴随矩阵法求逆矩阵,熟练掌握矩阵的初等行变换,以及运用初等行变换法求逆矩阵。通过本章学习,要求掌握矩阵及其各种特殊类型矩阵的定义,熟练第70页/共272页71 第三节 逆矩阵第二章矩阵第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算及其性质 第四节 分块矩阵及其运算 第五节 矩阵的初等变换 第六节 初等方阵主主要要内内容容第71页/共272页72第一节矩阵的概念一、矩阵的定义 矩阵作为一种常用的数学工具,能够简洁地贮存信息,通
23、过矩阵运【例 2.1】算,可以方便地处理信息,下面通过实际例子引入矩阵的概念。某超市公司的第I、II两部门都销售甲、乙、丙三种小包装食品,其某一天的销售量(单位:包)可由下表表示:第72页/共272页73第一节矩阵的概念 如果我们每一天都做这样的统计,就没必要像上表那样繁琐,只要把以上数字按一定的排列次序记成如下数表形式:第73页/共272页74第一节矩阵的概念简洁地表示出来。无论是在数值求解还是理论推导方面,此数表足以清【例 2.2】晰表示这一线性方程组。对于线性方程组 我们可以用下面的数表第74页/共272页75 一般由大写字母A,B,C表示矩阵。由上两例可以看到,在我们生命活动中的许多方
24、面,都可以用数表第一节矩阵的概念 1矩阵定义来表达一些量以及量与量之间的关系。这类数表,我们统称为矩阵。【定义 2.1】由 个数 排成的 行 列的矩形数组 (2.1)称为一个m行n列矩阵,简称mn的矩阵,称为此矩阵的第 行第列的元素 。矩阵(2.1)也可简化为:第75页/共272页76即第一节矩阵的概念【例 2.3】是一个三行四列矩阵,位于矩阵第二行第三列位置的元素是9,而第76页/共272页77第一节矩阵的概念 2矩阵相等 另外,行数或列数不同的矩阵也不是相等的。若 都是 矩阵,且对应位置的元素分别相等,即 ,则称矩阵A与B相等,记为:例如,当且仅当 时,矩阵 又如:第77页/共272页78
25、第一节矩阵的概念 3 阶方阵 当矩阵的行数 与列数 相等,即 时,矩阵 称为阶矩阵或 阶方阵,如矩阵 是一个二阶方阵。阶方阵 与 阶行列式是不能混淆的两个概念,行列式的值是 在一个阶方阵 中,从左上角到右下角的对角线连线,称为主对角线。元素 都在主对角线上,称为主对角线元素。一个数,而矩阵仅是数表。第78页/共272页79第一节矩阵的概念二、几种特殊矩阵的介绍 1.行矩阵和列矩阵 只有一行元素构成的矩阵 称为行矩阵。只有一列元素构成的矩阵 称为列矩阵。2.零矩阵 时,也记为 ,或 。行列数不同的零矩阵是不相等的,如 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作 。当零矩阵的行列数是第79页/共272页80
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