第11章 结构稳定计算.ppt
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1、vv两类稳定问题概述两类稳定问题概述vv稳 定 问 题 的 分 析 方 法稳 定 问 题 的 分 析 方 法vv弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法vv弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法vv刚 架 的 稳 定 分 析 的 有 限 单 元 法刚 架 的 稳 定 分 析 的 有 限 单 元 法21 1、稳定验算的重要性稳定验算的重要性设设计计结结构构v强度演算强度演算v刚度演算刚度演算最基本的必不可少最基本的必不可少v稳定性演算:稳定性演算:2 2、平衡状态的三种情况、平衡状态的三种情
2、况稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位,稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位,干扰消失,恢复原位。干扰消失,恢复原位。不稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位,不稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位,干扰消失,不能恢复原位,继续偏移。干扰消失,不能恢复原位,继续偏移。中性平衡:由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。中性平衡:由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。16-1 16-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述 高强度材料应用、结构形式的发展,结构趋于高强度材料应用、结构形式的发展,结构趋于轻型、薄壁化,更易失稳,稳定计算日益重要。轻型、薄壁化,更易失稳,稳定计算日益重
3、要。失稳造成的工程事故时有发生。失稳造成的工程事故时有发生。1922华盛顿镍克尔卜克尔剧院倒塌;1983社科院科研楼施工过程中,脚手架整体稳定性破坏稳定是指:假设对结构施加一微小稳定是指:假设对结构施加一微小干扰使偏离其原位置,当干扰去除干扰使偏离其原位置,当干扰去除后,结构能恢复到原来的平衡位置后,结构能恢复到原来的平衡位置3C3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转 为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性.分支点失稳:(第一类失稳)完善体系(或称理想体系):直杆(无初曲率),中心受压(无初偏心)。Pl/2l/2POP1Pcr=1Pcr(稳定)(不稳定)(大挠度理论)
4、(小挠度理论)DDP2原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲)。分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。临界荷载、临界状态2 Pcr由于荷载自Pcr至压溃历程极短,故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近,可采用简单的小挠度理论求Pcr。4 Pcr Pcrqcr原始平衡:轴向受压新平衡形式:压弯组合 Pcr原始平衡:轴向受压新平衡形式:压弯组合原始平衡:平面弯曲新平衡形式:斜弯曲加扭转 结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不
5、稳定而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式,同时,而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式,同时,这种现象带有突然性。这种现象带有突然性。分支点失稳的特点:其它结构的分支点失稳5极值点失稳:(第二类失稳)非完善体系:具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆 P PPOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别:强度问题是在稳定平衡状态下:当 ,小变形,进行线性分析(一阶分析)。当 ,大变形,进行几何非线性分析(二阶分析)。重点是求 内力、应力稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡;找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在
6、变形后的几何位置上建立平衡方程,属于几何非线性分析(二阶分析)。非线性分析,叠加原理不再适用。极值点失稳的特点:结构一开始极值点失稳的特点:结构一开始受压就处于压弯状态,失稳与稳定无受压就处于压弯状态,失稳与稳定无明显的界限,只是当接近失稳时,荷明显的界限,只是当接近失稳时,荷载增加很小,而挠度迅速增加。载增加很小,而挠度迅速增加。P-曲曲线具有极值点。由于结构的变形过大,线具有极值点。由于结构的变形过大,结构将不能正常使用。结构将不能正常使用。6 Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=1)按大挠度理论分析 PRAPOAPcrB(稳定)(不稳定)(大挠度理论)不稳定平衡(小挠度理论)随遇
7、平衡 分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于这种具有不稳定分支点的完善体系,一般应当考虑初始缺陷的影响,按非完善体系进行稳定性演算。2)按小挠度理论分析 1 小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注注:1)平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。)平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。2)建立平衡方程时方程中各项应是同量级的,主要力项)建立平衡方程时方程中各项应是同量级的,主要力项(有限量)要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化,次要力(有限量)要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化,次要力项(微量)不考虑几何尺寸的微量变化
8、。项(微量)不考虑几何尺寸的微量变化。两类稳定计算简例7 Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=1)按大挠度理论分析 P RAP/klO=0=0.1=0.210.6950.380.5360.421.37 1.47/2P/klO10.20.5360.10.6950.30.415这个非完善体系是极值点失稳.Pcr 随增大而减小.8 PlkEI=2)按小挠度理论分析 PRAP/klO设:1,0(0),体系能恢复原位置,平衡是稳定的;如总势能=U+UP=0(=0),体系能在任意位置平衡,平衡为中性的;如总势能=U+UP 0(0),体系不能恢复原位置,平衡是不稳定的。用能量法求临界荷载,依据于临
9、界状态的平衡条件,它等价于势能驻值原理:弹性体系在临界状态,其总势能为驻值,即=0或:=0 (单自由度体系)(用于多自由度体系)PlABklMA=kPABBEI=014弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理:对于弹性体系,在一切微小的可能位移中,同时又满足平衡条件的位移(真实位移)使结构的势能为驻值,即:=0,=应变能U+外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解得:PlABkBEI=单自由度体系也可由=0解得:15 总势能是位移的二次函数,1)PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能
10、,使压杆恢复到原有平衡位置)当=0,为极小值0。对于稳定平衡状态,真实的位移使为极小值2)Pk/l,当0,恒小于零(为负定)(即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能,压杆不能恢复到原有位置)。当=0,为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3)P=k/l,当为任意值时,恒等于零(即U=UP)。体系处于中性平衡(临界状态)这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。PPcrP=Pcr 结论:结论:1)当体系处于稳定平衡状态时,其总势能必为最小。)当体系处于稳定平衡状态时,其总势能必为最小。2)临界状态的能量特征是:势能为驻值)临界状态的能量特征是:势能为驻值=0,且位移有非零且位移有非零 解。即:
11、在荷载达到临界值前后,总势能由正定过渡到非正定。解。即:在荷载达到临界值前后,总势能由正定过渡到非正定。3)如以原始平衡位置作为参考状态,当体系处于中性平衡)如以原始平衡位置作为参考状态,当体系处于中性平衡P=Pcr 时,时,必有总势能必有总势能=0。对于多自由度体系,结论仍然成立。对于多自由度体系,结论仍然成立。16Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2)能量法在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(2221
12、21+-=-=yyyylPPUPl体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻 值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的计算步骤同静力法能量法步骤能量法步骤:给出新的平衡形式给出新的平衡形式;写出写出总势能表达式总势能表达式;建立势能驻建立势能驻值条件值条件;应用位移有非零解应用位移有非零解的条件的条件,得出特征方程得出特征方程;解解出特征值出特征值,其中最小的即临界其中最小的即临界荷载荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。17体系总势能:
13、)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP总势能是位移y1、y2的对称实数二次型。如果Pkl/3=Pcr,是正定的。如果kl/3 Pkl,是负定的。由此可见,多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是:由此可见,多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是:在荷载达到临界值的前后,势能在荷载达到临界值的前后,势能由正定过渡到非正定。由正定过渡到非正定。(或说:势能达驻值,位移有非零值)(或说:势能达驻值,位移有非零值)非正定18PPllABCk例2:用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1、静力法:两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。分析受力列平
14、衡方程:2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解:求失稳曲线:实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线192、能量法:外力势能:PPllABCk2qk()21qq-k应变能:总势能:根据势能驻值条件:由位移参数不全为零得稳定方程:以下计算同静力法。20例3:用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程:BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程:lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP21例3:用能量法求图示体 系的临界荷载。两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。求变形能和外力势能:lllEI2
15、EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时,杆端力的功=变形能。22P例4:用静力法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程:由位移参数不全为零得稳定方程:AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC231-1P 用能量法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。由位移参数不全为零得稳定方程:AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求变形能和外力势能:24Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求 EI=1、正对称失稳取半刚架如图:取 1 为位移参数,设失 稳曲 线如
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