四章 多项式插值与数值逼近.pptx
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1、 实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题:(1)如果函数表达式本身比较复杂,且需要多次重复计算时,计算量会很大;(2)有的函数甚至没有表达式,只是一种表格函数,而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况,我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替,这就是数值逼近问题。问题背景问题背景第1页/共31页1 1 插值问题 /*Interpolation Problem*/(插值的定义)已知定义于区间 上的实值函数 在 个互异节点 处的函数值 ,若函数集合 中的函数 满足则称 为 在函数集合 中关于节点 的一个插值函数,并称 为被插值函数,a,b,a,b为插值区间,为插值节点,(*)
2、式为插值条件。设外插法:内插法:用 计算被插值函数 在点 处的近似值 用 计算被插值函数 在点 处的近似值 第2页/共31页插值类型代数插值:集合 为多项式函数集x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)几何意义:有理插值:集合 为有理分式函数集三角插值:集合 为三角函数集第3页/共31页代数插值的存在唯一性设即代入插值条件:第4页/共31页方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵 方程组存在唯一解,因此满足插值条件(*)(*)的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.第5页/共31页截断误差插值余项设 在区间 a,ba,b上连续,在区间 a,ba,b上存在,是满足插值条件(*)的不超过n次的插
3、值多项式,则对 存在 ,满足其中 。且当 在区间 a,ba,b有上界 时,有代数插值的插值余项/*Remainder*/第6页/共31页2 2 代数插值多项式的构造方法一、一、拉格朗日多项式 /*Lagrange Polynomial*/niyxPiin,.,0,)(=求 n 次多项式 使得条件:无重合节点,即n=1已知 x0,x1;y0,y1,求使得111001)(,)(yxPyxP=可见 P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称为拉氏基函数
4、 /*Lagrange Basis*/,满足条件 li(xj)=ij第7页/共31页与 有关,而与 无关n 1希望找到li(x),i=0,n 使得 li(xj)=ij;然后令=niiinyxlxP0)()(,则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个 li(x)有 n 个根 x0 xi-1、xi+1 xn =j i jiiiixxCxl)(11)(Lagrange Polynomial节点f第8页/共31页例如例如 也是一个插值多项式,也是一个插值多项式,其中其中 可以是可以是任意任意多项式。多项式。(2)Lagrange插值多项式结构对称,形式简单.(3)误差估计注:(1)若不将多项式次数限
5、制为 n,则插值多项式不唯一。(4)当插值节点增加时,拉氏基函数需要重新计算,n较大时,计算量非常大,故常用于理论分析。第9页/共31页二二、牛顿插值 /*Newtons Interpolation*/Lagrange 插值虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数 li(x)都需重新算过。将 Ln(x)改写成的形式,希望每加一个节点,只附加一项上去即可。?差商(亦称均差)/*divided difference*/1阶差商/*the 1st divided difference of f w.r.t.xi and xj*/2阶差商第10页/共31页11101010111010,.,.,.,.
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- 四章 多项式插值与数值逼近 多项式 数值 逼近
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