计量经济学-2一元线性回归模型教学文案.ppt
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1、计量经济学-2一元线性回归模型例如,例如,函数关系:函数关系:统计依赖关系统计依赖关系/统计相关关系:统计相关关系:对变量间对变量间统计依赖关系统计依赖关系的考察主要是通过的考察主要是通过相关分析相关分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析(regression analysis)来完成的:来完成的:相关系数:相关系数:统计依赖关系统计依赖关系 回归分析回归分析正相关正相关相关分析相关分析 不相关不相关负相关负相关正相关正相关线性相关线性相关不相关不相关负相关负相关有因果关系有因果关系无因果关系无因果关系非线性相关非线性相关 不线性相关并不意味着不相关;有相关关系并
2、不意味着一定有因果关系;回归分析回归分析/相关分析相关分析研究一个变量对另一个(些)变量的统计依赖关系,但它们并不意味着一定有因果关系。相关分析相关分析对称地对待任何(两个)变量,两个变量都被看作是随机的。回归分析回归分析对变量的处理方法存在不对称性,即区分应变量(被解释变量)和自变量(解释变量):前者是随机变量,后者不是。注意:注意:分析被解释变量与解释变量之间的统计依赖关系,目的在分析被解释变量与解释变量之间的统计依赖关系,目的在于通过后者的已知或设定值去估计或预测前者的均值。于通过后者的已知或设定值去估计或预测前者的均值。例,假定一个地区的所有家庭的收入(例,假定一个地区的所有家庭的收入
3、(X)和消费支出)和消费支出(Y)统计如下,希望知道家庭消费支出与家庭收入之间的)统计如下,希望知道家庭消费支出与家庭收入之间的关系:关系:Y=F(X)。)。XY8010012014016018020022024026055657980102110120135137150607084931071151361371451526574909511012014014015517570809410311613014415216517875859810811813514515717518088113125140160189185115162191户数户数5657665767总支出总支出325462445
4、70767875068510439661211平均平均支出支出657789101113125137149161173YX55120 160200 24080 根据每个家庭的收入和支根据每个家庭的收入和支出绘出散点图,大致可看出二出绘出散点图,大致可看出二者间的关系:在统计意义上,者间的关系:在统计意义上,二者成正比。二者成正比。由对全体居民的收入和支出的调查结果,我们知道处于不同收入阶层由对全体居民的收入和支出的调查结果,我们知道处于不同收入阶层的居民有一个平均的支出水平,这一支出水平与收入大致呈线性关系。的居民有一个平均的支出水平,这一支出水平与收入大致呈线性关系。图中的这条通过各收入阶图中
5、的这条通过各收入阶层平均支出额的直线,描述了层平均支出额的直线,描述了这一依赖关系。我们把这条线这一依赖关系。我们把这条线称为回归直线。称为回归直线。二、回归模型二、回归模型 总体回归模型:总体回归模型:样本回归模型:样本回归模型:总体回归模型总体回归模型YX55120 160200 24080样本回归模型样本回归模型1、几个概念、几个概念条件分布条件分布(Conditional distribution):以以X取定值为条件的取定值为条件的Y的条件分布。的条件分布。条件概率条件概率(Conditional probability):给定给定X的的Y的概率,记为的概率,记为P(Y|X)。例如,
6、例如,P(Y=55|X=80)=1/5;P(Y=150|X=260)=1/7。条件期望(条件期望(conditional Expectation):给定):给定X的的Y的期望值,记为的期望值,记为E(Y|X)。例如,例如,E(Y|X=80)=551/5601/5651/5701/5751/565总体回归曲线(总体回归曲线(Popular Regression Curve)(总体回归曲线的几何意义)(总体回归曲线的几何意义):当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。:当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。2、总体回归函数(、总体回归函数(Popular Regression Funct
7、ion,PRF)E(Y|Xi)=f(Xi)当当PRF的函数形式为线性函数,则有,的函数形式为线性函数,则有,E(Y|Xi)=0+1Xi其中其中 0和和 1为未知而固定的参数,称为回归系数。为未知而固定的参数,称为回归系数。0和和 1也分别称为截也分别称为截距和斜率系数。上述方程也称为线性总体回归函数。距和斜率系数。上述方程也称为线性总体回归函数。3、“线性线性”的含义的含义“线性线性”可作两种解释:对变量为线性,对参数为线性。一般可作两种解释:对变量为线性,对参数为线性。一般“线性回线性回归归”一词总是指对参数一词总是指对参数 为线性的一种回归(即参数只以它的为线性的一种回归(即参数只以它的1
8、次方出现)。次方出现)。4、PRF的随机设定的随机设定 将个别的将个别的Yi围绕其期望值的离差围绕其期望值的离差(Deviation)表述如下:表述如下:ui=Yi-E(Y|Xi)或或 Yi=E(Y|Xi)+ui其中其中ui为随机误差项(为随机误差项(Stochastic error)或随机干扰项()或随机干扰项(Stochastic disturbance)。线性总体回归函数:)。线性总体回归函数:PRF:Yi=0 0+1 1Xi+ui=E(Y|Xi)+ui5、随机扰动项的意义、随机扰动项的意义 随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着Y的
9、全部变量的替的全部变量的替代物。显然的问题是:为什么不把这些变量明显地引进到模型中来,而以代物。显然的问题是:为什么不把这些变量明显地引进到模型中来,而以随即扰动项来替代?理由是多方面的:随即扰动项来替代?理由是多方面的:(1)理论的含糊性:理论不能完全说明影响因变量的所有影响因素。)理论的含糊性:理论不能完全说明影响因变量的所有影响因素。(2)数据的欠缺:无法获得有关数据。)数据的欠缺:无法获得有关数据。(3)主要变量与次要变量:希望能找到与有较大影响的核心变量的关系。)主要变量与次要变量:希望能找到与有较大影响的核心变量的关系。(4)内在随机性:因变量具有内在的随机性。)内在随机性:因变量
10、具有内在的随机性。(5)替代变量差异:替代变量和被替代变量之间总是存在一定的差异。)替代变量差异:替代变量和被替代变量之间总是存在一定的差异。(6)简化原则:研究中尽可能使回归式简单。)简化原则:研究中尽可能使回归式简单。6、样本回归函数(、样本回归函数(SRF,Sample RegressionFunction)由于在大多数情况下,我们不可能得到由于在大多数情况下,我们不可能得到X、Y的所有可能的数值,只的所有可能的数值,只能用抽样的方法,取得能用抽样的方法,取得X、Y的样本观测值,用样本回归方程的样本观测值,用样本回归方程SRF去拟合去拟合总体回归方程总体回归方程PRF。X(收入)(收入)
11、80100120140160180200220240260Y(支出)(支出)55657980102110120135137150样本样本1 X(收入)(收入)80100120140160180200220240260Y(支出)(支出)708094103116130144152165178样本样本2样本回归函数样本回归函数SRF:在回归分析中,我们用在回归分析中,我们用SRF估计估计PRF。(一)基本假定(一)基本假定1、零均值。随机扰动项、零均值。随机扰动项ui的均值为零。即,的均值为零。即,E(ui|Xi)=02、同方差。随机扰动项、同方差。随机扰动项ui的方差相等。即的方差相等。即 Var
12、(ui|Xi)=E(ui-E(ui)|Xi2 =E(ui2|Xi2=23、无自相关。各个扰动项无自相关。即:、无自相关。各个扰动项无自相关。即:三、参数的最小二乘估计三、参数的最小二乘估计(Least Squares Estimation,LSE)考虑回归模型:考虑回归模型:其中其中ui是除了是除了X以外的其它若干因素。以外的其它若干因素。4、随机扰动项、随机扰动项ui解释变量解释变量Xi不相关。即不相关。即Cov(ui,Xi)=Eui-EuiXi-EXi=0 i=1,2,n(二)普通最小二乘估计(二)普通最小二乘估计(Ordinary Least Squares,OLS)基本思路:用样本回归
13、函数估计总体回归函数。以基本思路:用样本回归函数估计总体回归函数。以估计估计估计出的参数估计出的参数使残差的平方和最小使残差的平方和最小。真实值真实值5、ui服从正态分布,即服从正态分布,即uiN(0,2),),i=1,2,n求解这一最小化问题,根据最大化的一阶条件:求解这一最小化问题,根据最大化的一阶条件:例例1,已知某商品的需求量,已知某商品的需求量Y(万吨)随价格(万吨)随价格X(元)变化的统计资料如下,(元)变化的统计资料如下,求需求量求需求量Y随价格随价格X变化的回归方程。变化的回归方程。年份年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 198
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