第十章(IIR滤波器).pptx
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1、回顾IIR滤波器的基本概念定义简单的模拟低通滤波器类型介绍脉冲响应不变法、双线性变换法说明IIR滤波器阶数的选取法则讨论低通、高通、带通和带阻滤波器的设计方法强调实际应用中应该注意的问题给出低通巴特沃斯滤波器和低通切比雪夫I型滤波器的设计第1页/共203页10.1 IIR滤波器的基础滤波器的基础FIRFIR滤波器不仅取决于过去的输入,而且依赖于滤波器不仅取决于过去的输入,而且依赖于过去的输出,所以这种滤波器的方程是递归的。过去的输出,所以这种滤波器的方程是递归的。第2页/共203页例例10.1(P289):求出下面递归滤波器的脉冲响应。求出下面递归滤波器的脉冲响应。解:解:脉冲响应可由下式求出
2、:脉冲响应可由下式求出:n(n)h(n)011100.8200.64300.512400.4096500.32 768IIR滤波器的基础第3页/共203页由于递归滤波器具有无限长脉冲响应,所以通常由于递归滤波器具有无限长脉冲响应,所以通常称为无限脉冲响应滤波器(称为无限脉冲响应滤波器(Infinite Impulse Response Infinite Impulse Response filterfilter,即,即IIRIIR滤波器)。滤波器)。IIRIIR滤波器的设计就是要选择系数滤波器的设计就是要选择系数bk和和ak,使得,使得滤波器形状设计有许多灵活性。滤波器形状设计有许多灵活性。I
3、IR滤波器的基础第4页/共203页 稳定性:稳定性:具有具有MM个零点和个零点和N N个极点。可见,递归滤波器不个极点。可见,递归滤波器不能保证其稳定性。能保证其稳定性。IIR滤波器的基础第5页/共203页递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性相位。然而,递归滤波器的优势在于,在实线性相位。然而,递归滤波器的优势在于,在实现类似的性能要求时,它比非递归滤波器所需的现类似的性能要求时,它比非递归滤波器所需的系数要少得多。系数要少得多。IIR滤波器的基础第6页/共203页设计递归滤波器有两种方法:设计递归滤波器有两种方法:()()设计具有待求特性的原型模拟
4、滤波器,设计具有待求特性的原型模拟滤波器,然后将其转换为数字滤波器。然后将其转换为数字滤波器。因为模拟滤波器具有很因为模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式,并且设计参数已经表格多简单而又现成的设计公式,并且设计参数已经表格化了,设计起来既方便又准确。化了,设计起来既方便又准确。()()计算机辅助设计法。计算机辅助设计法。这是一种最优化的这是一种最优化的设计方法。先确定最优准则,然后求在此最佳准则下设计方法。先确定最优准则,然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数滤波器系统函数的系数ak、bk。一般得不到函数表达。一般得不到函数表达式,而且需要进行大量的迭代运算。式,而且需要进行大量的迭代运
5、算。IIR滤波器的基础第7页/共203页10.2 低通模拟滤波器低通模拟滤波器模拟滤波器频率响应的求取一般是将传输函数模拟滤波器频率响应的求取一般是将传输函数H(s)中的每个中的每个s s用用j 代替,其中代替,其中 是模拟角频率(弧度是模拟角频率(弧度/秒),它与模拟频率秒),它与模拟频率f(Hz)的关系是:的关系是:带入上式得:带入上式得:模拟滤波器的频模拟滤波器的频率响应率响应低通模拟滤波器的低通模拟滤波器的传输函数传输函数第8页/共203页因为:因为:模拟滤波器频率响应模拟滤波器频率响应的幅度的幅度低通模拟滤波器所以所以=1弧度弧度/秒对秒对应于低通滤波器的应于低通滤波器的 -3dB频
6、率,也就是频率,也就是它的带宽。它的带宽。第9页/共203页低通模拟滤波器第10页/共203页低通模拟滤波器对低通模拟滤波器的传输函数进行改变,使对低通模拟滤波器的传输函数进行改变,使-3dB-3dB频率变为不是频率变为不是=1弧度弧度/秒的其他秒的其他频率:频率:则其则其频率响应频率响应为:为:第11页/共203页低通模拟滤波器这仍然是一个低通滤波器,但是这仍然是一个低通滤波器,但是-3dB-3dB对应于对应于=p1弧度弧度/秒或秒或f=p1/2 Hz。第12页/共203页低通模拟滤波器第13页/共203页低通模拟滤波器通常模拟通常模拟滤波器类型包滤波器类型包括巴特沃斯、括巴特沃斯、切比雪夫
7、切比雪夫I I型、型、切比雪夫切比雪夫II II型型和椭圆滤波器。和椭圆滤波器。它们的主要区它们的主要区别在于特性的别在于特性的不同。不同。通带和阻带都是单通带和阻带都是单调的,即它们在一调的,即它们在一个方向上平滑变化。个方向上平滑变化。阻带内是单调的,阻带内是单调的,通带内是有波纹的。通带内是有波纹的。通带内是单调的,通带内是单调的,阻带内是有波纹的。阻带内是有波纹的。通带和阻带内通带和阻带内都有波纹。都有波纹。第14页/共203页 从模拟滤波器映射成数字滤波器,也就从模拟滤波器映射成数字滤波器,也就是使数字滤波器模仿模拟滤波器的特性,主是使数字滤波器模仿模拟滤波器的特性,主要有以下几种映
8、射方法:要有以下几种映射方法:脉冲响应不变法脉冲响应不变法、阶跃响应不变法阶跃响应不变法和和双线性变换法双线性变换法。低通模拟滤波器第15页/共203页10.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法是使数字滤波器的脉冲响应序列脉冲响应不变法是使数字滤波器的脉冲响应序列h(n)与模拟滤波器的脉冲响应与模拟滤波器的脉冲响应h(t)相近似的一种变换方法。即根据相近似的一种变换方法。即根据h(n)与与h(t)在采样点上的值相等来得到变换关系。在采样点上的值相等来得到变换关系。如果给定模拟滤波器的传输函数如果给定模拟滤波器的传输函数H(s),则,则所求数字滤波器的传输函数所求数字滤波器的传输函数H
9、(z)为:为:第16页/共203页下面推导脉冲响应不变法中的下面推导脉冲响应不变法中的S 平面和平面和Z平面的对应关系。平面的对应关系。脉冲响应不变法H(s)h(t)h(n)H(z)拉普拉斯反变换采样Z变换基于脉冲响应不变法的模拟滤波器的数字化基于脉冲响应不变法的模拟滤波器的数字化第17页/共203页 设模拟滤波器的传输函数设模拟滤波器的传输函数H(s)只有单阶极点,且分母多项式的阶次只有单阶极点,且分母多项式的阶次N高于高于分子多项式的阶次分子多项式的阶次M,则其可用部分分式表示为:,则其可用部分分式表示为:脉冲响应不变法对上式作逆拉氏变换得:对上式作逆拉氏变换得:对对h(t)进行采样间隔为
10、进行采样间隔为T的等间隔采样,可得:的等间隔采样,可得:第18页/共203页对上式两端作对上式两端作Z变换,得:变换,得:脉冲响应不变法对比对比H(s)和和H(z),可以得出,可以得出Z平面与平面与S平面的映射关系为平面的映射关系为因而有因而有当当ssk时,则为时,则为模拟滤波器的极点sk映射为数字滤波器的极点eskT。第19页/共203页将将 z=rej 和和s=+j 代入上式,得:代入上式,得:脉冲响应不变法当当 0时,时,|z|=r 0时,时,|z|=r 1,即,即S平面平面右半平面映射到右半平面映射到Z Z平面的单位圆外。平面的单位圆外。当当s=j,即,即=0时,时,|z|=r=1,即
11、,即S平面的虚轴映射成平面的虚轴映射成Z平面的单位圆。平面的单位圆。j即:即:第20页/共203页例:例:已知模拟滤波器的传输函数如下,试用脉冲已知模拟滤波器的传输函数如下,试用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数。响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数。解:解:将将H(s)进行部分分式展开得:进行部分分式展开得:可见,模拟滤波器在可见,模拟滤波器在sk-(a jb)处有一对共轭极点。根据脉冲响应不变法中处有一对共轭极点。根据脉冲响应不变法中Z平面平面和和S平面的映射关系可知,相应的数字滤波器在平面的映射关系可知,相应的数字滤波器在ze-(a jb)T 处有一对极点,其系统处有一对极
12、点,其系统函数为:函数为:脉冲响应不变法第21页/共203页这是一个二阶递归滤波器,在这是一个二阶递归滤波器,在ze-(a jb)T处有一对极点,在处有一对极点,在z0和和 z e-aTcos(bT)处处有两个零点有两个零点。模拟滤波器用脉冲响应不变法得到的数字滤波器,幅频特性存在严重的混叠效应。脉冲响应不变法第22页/共203页对于简单的一阶巴特沃斯滤波器,其传输函数及滤波器形状为:对于简单的一阶巴特沃斯滤波器,其传输函数及滤波器形状为:脉冲响应不变法应用脉冲响应不变法可得数字滤波器的传输函数和频率响应分别为:应用脉冲响应不变法可得数字滤波器的传输函数和频率响应分别为:第23页/共203页只
13、要用于实现脉冲响应不变法数字只要用于实现脉冲响应不变法数字滤波器的采样间隔滤波器的采样间隔T很小,尽量减小混很小,尽量减小混叠,数字和模拟滤波器的形状就会非常叠,数字和模拟滤波器的形状就会非常接近。接近。脉冲响应不变法第24页/共203页例例10.12(P313):用脉冲响应不变法设计截止频率用脉冲响应不变法设计截止频率为为750Hz的一阶巴特沃斯滤波器。的一阶巴特沃斯滤波器。解:解:截止频率为截止频率为750Hz的一阶巴特沃斯滤波器的传输函数为:的一阶巴特沃斯滤波器的传输函数为:模拟滤波器的形状为:模拟滤波器的形状为:脉冲响应不变法第25页/共203页数字滤波器的传输函数为:数字滤波器的传输
14、函数为:数字滤波器的频率响应为:数字滤波器的频率响应为:脉冲响应不变法 滤波器形状如图滤波器形状如图10.21(P314-315)10.21(P314-315)所示。随着采样间隔所示。随着采样间隔T T的不断减小,数字滤波的不断减小,数字滤波器的形状越来越逼进模拟滤波器的形状。器的形状越来越逼进模拟滤波器的形状。第26页/共203页例:例:设模拟滤波器的系统函数如下,试利用脉冲响应不变法设计设模拟滤波器的系统函数如下,试利用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤数字滤波器。波器。脉冲响应不变法解:解:求出模拟滤波器系统函数的极点:求出模拟滤波器系统函数的极点:数字滤波器的传输函数为:数字滤波器的
15、传输函数为:第27页/共203页令令T=1T=1,则有:,则有:脉冲响应不变法数字滤波器的频率响应为:数字滤波器的频率响应为:第28页/共203页脉冲响应不变法优缺点:优缺点:脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的脉冲响应,脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的脉冲响应,所以其时域逼近良好,而且模拟频率所以其时域逼近良好,而且模拟频率 和数字频率和数字频率 之间呈线性关系,即之间呈线性关系,即 T。因而一个线性相位的模拟滤波器,可以映射成一个线性相位的数字滤波器。因而一个线性相位的模拟滤波器,可以映射成一个线性相位的数字滤波器。由于由于H(ej)不是充分
16、带限的,使得不是充分带限的,使得H()频率响应发生混叠效应,所以脉冲响应频率响应发生混叠效应,所以脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器,高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法,不变法只适用于带限的模拟滤波器,高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法,否则要加保护滤波器,滤除高于奈奎斯特频率以上的频率分量。对于带通和低通滤否则要加保护滤波器,滤除高于奈奎斯特频率以上的频率分量。对于带通和低通滤波器,需要充分带限,阻带衰减越大,混叠效应越小。波器,需要充分带限,阻带衰减越大,混叠效应越小。第29页/共203页10.4 双线性变换双线性变换双线性不变法是使数字滤波器的频率响应双线性不变法是使数字滤波
17、器的频率响应H()与模拟滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应H(ej)相近似的相近似的一种变换方法。一种变换方法。第30页/共203页IIRIIR数字滤波器在数字滤波器在Z Z域中的域中的传输函数传输函数IIRIIR模拟滤波器在模拟滤波器在S S域中的域中的传输函数传输函数可见,H(z)与H(s)具有相同的形式,利用线性映射的方法,可以把S平面上的模拟滤波器映射成Z平面上的数字滤波器。双线性变换第31页/共203页双线性变换我们可以先按照技术要求设计一个模拟滤波器我们可以先按照技术要求设计一个模拟滤波器Ha(s),然后按一定的映射关,然后按一定的映射关系将系将Ha(s)转换成数字滤波器的转换
18、成数字滤波器的H(z)。为了保证转换得到的。为了保证转换得到的H(z)(z)仍然满足技术要求,仍然满足技术要求,必须对由复变量必须对由复变量S S到复变量到复变量Z之间的映射提出如下要求:之间的映射提出如下要求:()因果稳定的模拟滤波器转换为数字滤波器后,仍是因果稳定的,因()因果稳定的模拟滤波器转换为数字滤波器后,仍是因果稳定的,因此,映射应使此,映射应使S S平面的左半平面平面的左半平面Res0Res0映射为映射为Z Z平面的单位圆内部,平面的单位圆内部,|z|1|z|1。()数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致,故()数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致,故S S
19、平面的平面的虚轴虚轴j 线性映射到线性映射到Z Z平面的单位圆平面的单位圆e j 上,即频率轴要对应。上,即频率轴要对应。第32页/共203页1-1双线性变换S平面Z平面jOImReO第33页/共203页双线性变换的定义为:双线性变换的定义为:其中其中fs为采样频率,单位是为采样频率,单位是Hz。双线性变换考虑虚轴和单位圆的情况。将考虑虚轴和单位圆的情况。将S=j ,z=ej 代入上式:代入上式:第34页/共203页双线性变换第35页/共203页双线性变换即:即:双线性变换法的主要优点是双线性变换法的主要优点是S平面与平面与Z平面一一单平面一一单值对应,所以,双线性变换不存在混叠效应。值对应,
20、所以,双线性变换不存在混叠效应。上式称为预扭曲方程。上式称为预扭曲方程。教材教材P293有误。有误。0 0 弧度弧度/秒秒0 0 弧度弧度逆双线性变换式为:逆双线性变换式为:第36页/共203页例例10.2(P294):将下列域复平面上的点通将下列域复平面上的点通过双线性变换映射到域复平面上。过双线性变换映射到域复平面上。单位圆上的点单位圆上的点单位圆内的点单位圆内的点单位圆外的点单位圆外的点双线性变换第37页/共203页解:解:进行双线性变换:进行双线性变换:虚轴上的点虚轴上的点双线性变换第38页/共203页左半平面上的点左半平面上的点右半平面上的点右半平面上的点双线性变换第39页/共203
21、页例例10.3(P295):一阶模拟低通滤波器的传输一阶模拟低通滤波器的传输函数如下式所示,滤波器的函数如下式所示,滤波器的-3dB-3dB频率是频率是20002000弧度弧度/秒(或秒(或2000/22000/2=318.31Hz=318.31Hz)。求出与)。求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函数数H(z),采样频率为,采样频率为1500Hz1500Hz。双线性变换第40页/共203页解:解:因为因为-3dB-3dB频率不是频率不是=1,而是而是=2000弧度弧度/秒秒,其,其模拟域传输模拟域传输函数为:函数为:则滤波器的形状为:则滤波器的形状
22、为:双线性变换第41页/共203页采样频率采样频率fs=1500Hz=1500Hz,用双线性变换法将模拟传输函数中的每个,用双线性变换法将模拟传输函数中的每个s用用2fs(z-1)/(z+1)来替代,则数字滤波器传输函数为:来替代,则数字滤波器传输函数为:数字滤波器的频率响应形状为:数字滤波器的频率响应形状为:双线性变换如图所示:如图所示:3dB带宽对应的带宽对应的=1.17=1.17弧弧度。度。第42页/共203页由于由于|H()|=0.707)|=0.707点所对应的点所对应的=1.17=1.17弧度,它所对应的模拟频率弧度,它所对应的模拟频率f=fS/2 =279.3Hz,低于模拟滤波器
23、的截止频率低于模拟滤波器的截止频率318.31Hz。数字滤波器的滚降比模拟滤数字滤波器的滚降比模拟滤波器的滚降要陡峭,数字滤波器波器的滚降要陡峭,数字滤波器的带宽和模拟滤波器的带宽也不的带宽和模拟滤波器的带宽也不相同。这种误差是由于双线性变相同。这种误差是由于双线性变换的扭曲造成的。这种扭曲可以换的扭曲造成的。这种扭曲可以通过对通过对-3dB-3dB频率进行预扭曲来克频率进行预扭曲来克服。设计过程中加入这一步,就服。设计过程中加入这一步,就可以得到正确的带宽。可以得到正确的带宽。双线性变换第43页/共203页例例10.4(P296):针对上例中的误差采用预扭针对上例中的误差采用预扭曲的方法进行
24、改进。曲的方法进行改进。解:解:-3dB-3dB频率频率fp1=318.3Hz=318.3Hz,采样频率为采样频率为1500Hz,则数字截止频率(或,则数字截止频率(或-3dB3dB频率频率)是:)是:用双线性变换求得预扭曲模拟截止频率:用双线性变换求得预扭曲模拟截止频率:双线性变换第44页/共203页用用2360.42360.4弧度弧度/秒代替秒代替20002000弧度弧度/秒,则原型模拟滤波器的传输函数为秒,则原型模拟滤波器的传输函数为:用双线性变换用双线性变换s=3000(z-1)/(z+1)转换为数字滤波器,得到传输函数为:转换为数字滤波器,得到传输函数为:频率响应为:频率响应为:双线
25、性变换第45页/共203页双线性变换显然,数字滤波显然,数字滤波器和模拟滤波器的形器和模拟滤波器的形状在状在-3dB-3dB带宽范围内带宽范围内有很好的逼进。有很好的逼进。第46页/共203页优缺点:优缺点:稳定的模拟系统经过双线性变换后得到的数字系统仍然是稳定的稳定的模拟系统经过双线性变换后得到的数字系统仍然是稳定的。同时,双线。同时,双线性变换的最大优点是避免了频率响应的混叠现象。性变换的最大优点是避免了频率响应的混叠现象。由于由于 2 2fstan(tan(/2)/2)变换关系是非线性的,所以变换关系是非线性的,所以 和和 之间存在着严重的非线之间存在着严重的非线性关系,这就使得一个线性
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- 第十 IIR 滤波器
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