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1、1第四节第四节 重积分的应用重积分的应用一、重积分的元素法一、重积分的元素法二、二、重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用四、小结四、小结三、三、重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用2一、重积分的元素法一、重积分的元素法把定积分的把定积分的元素法元素法推广到二重积分推广到二重积分.1.若要计算的某个量若要计算的某个量U对于对于闭区域闭区域D具有具有可加性可加性,3.所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为元素法也可推广到三重积分元素法也可推广到三重积分.2.在在D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域部分量可部分量可近似近似地表示为地表示为称为所求量称为所求量U的的元素元素
2、,相应的相应的其中其中这个这个记为记为的形式的形式,3(一一)平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D,(二二)体积体积 设曲面方程为设曲面方程为则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为:则其面积为则其面积为:占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为:二、重积分在几何上的应用二、重积分在几何上的应用41.设曲面设曲面S的方程为:的方程为:如图如图,设小区域设小区域则有则有母线平行于母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面,在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为Dxy,(三三)曲面的面积曲面的面积求曲面求曲面S的面积的面积.5曲面曲面S的面积的面积元素元素曲面曲面S
3、的面积的面积公式公式6说明:说明:7求球面求球面内部的那部分面积内部的那部分面积.例例含在圆柱体含在圆柱体解解由对称性知由对称性知(A1为第一卦限图形的面积为第一卦限图形的面积,如图如图)曲面方程曲面方程于是于是,D1xy8D1xy面积面积极坐标极坐标9解解例例12小结:小结:2.确定投影域确定投影域Dxy .1.确定曲面单值函数确定曲面单值函数 z=f(x,y)3.曲面面积公式曲面面积公式求曲面面积的步骤求曲面面积的步骤13 作出图形在作出图形在第一卦限第一卦限的的A1:则则解解部分部分练习练习所截的部分的面积所截的部分的面积.被圆柱面被圆柱面计算圆柱面计算圆柱面(如图如图).a14在在第一
4、第一卦卦限限部分面积为部分面积为整个面积整个面积a15(一一)质质(重重)心心质点系的总质量质点系的总质量则该质点系的质心的坐标为则该质点系的质心的坐标为它们分别位于它们分别位于质量分别为质量分别为对对y轴的静力矩轴的静力矩设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点,三、重积分在物理上的应用三、重积分在物理上的应用对对x轴的静力矩轴的静力矩16由元素法由元素法(1)(1)平面薄片的质心平面薄片的质心17注注所以所以,薄片的质心坐标为薄片的质心坐标为当薄片是当薄片是均匀均匀的的,质心称为质心称为形心形心.D的面积的面积.18例例 求位于两圆求位于两圆和和的质心的质心.利用对称性可知利用对称性可知而
5、而之间均匀薄片之间均匀薄片解解19(2).空间物体的重心空间物体的重心说明:说明:20一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面剖面壁线的方程为壁线的方程为若炉内储有高为若炉内储有高为h的均质钢液的均质钢液,不计不计由由对称性对称性知质心在知质心在 z 轴上,轴上,故故炉体的自重炉体的自重,求它的质心求它的质心.例例解解21质心质心为为22设设平面上有平面上有n个质点,它们分别位于个质点,它们分别位于处,质量分别为处,质量分别为则该质点系绕则该质点系绕x轴轴,y轴和原点轴和原点O的的转动惯量转动惯量依次为依次为(二二)转动惯量转动惯量由力学知,一个位于点由力学知,一个位于点(x,y)质量为
6、质量为m的质点的质点P绕绕x轴轴,y轴和原点轴和原点O的的转动惯量转动惯量分别为分别为对于质点系对于质点系23(1)(1)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量24解解例例 设一均匀的直角三角形薄板设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为两直角边长分别为a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.25例例解解由元素法由元素法26(2).空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量2728由万有引力定律可知由万有引力定律可知,一个位于点一个位于点(x,y,z),质量质量(三三)引力引力P0(x0,y0,z0)M=1mP(x,y,z),为为m的质点的质点P,对另一个位
7、于点对另一个位于点(x0,y0,z0),单位单位质量的质点质量的质点P0的的引力引力大小大小为为(其中其中k为为引力常数引力常数)方向方向同向量同向量29元素法元素法设有一平面薄片设有一平面薄片,占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x,y)处处的面密度为的面密度为假定假定在在D上连续上连续,计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点处的处的单位质点单位质点的引力的引力.将两质点的引力推广到将两质点的引力推广到平面薄片平面薄片和和空间立体空间立体上去上去,以平面薄片为例:以平面薄片为例:3031(k为引力常数为引力常数)薄片对薄片对z轴上单位质点的轴上单位质点的引力引力为为32设有面密度为常量设有面密度为常量,半径为半径为R的均匀圆的薄片的均匀圆的薄片求它对位于点求它对位于点 易见易见处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力.例例解解极坐标极坐标所求引力为所求引力为33(2).空间物体对质点的引力空间物体对质点的引力34解解35四、小结四、小结几何应用几何应用平面的面积平面的面积曲面的面积曲面的面积体积体积质心质心物理应用物理应用转动惯量转动惯量 引力引力 作作 业业习题习题8-4(1118-4(111页页)1(1)(3).2(1).3(1).4(1).5.6(2).7.8.
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