线性代数 同济大学 .pptx
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1、11 矩 阵线性方程组与矩阵的对应关系线性方程组与矩阵的对应关系第1页/共93页2第2页/共93页3简记为简记为其中数其中数称为称为的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素,的的(i,j)元素。元素。第3页/共93页4同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等。同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等:第4页/共93页5一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵(Zero Matrix):注意:注意:不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵,零矩阵记作 或 .第5页/共93页6行矩阵行矩阵(Row Matrix):列矩阵(Column Matrix):只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为
2、行矩阵称为行矩阵(或行向量或行向量).).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)第6页/共93页7方阵方阵(Square Matrix):是 3 阶方阵.行数与列数都等于n 的矩阵,称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵),记作An第7页/共93页8对角阵对角阵(Diagonal Matrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。主对角线以外的元素都为零的方阵。第8页/共93页9数量矩阵数量矩阵(Scalar Matrix):主对角元素全为非零常数主对角元素全为非零常数 k,其余元素全为零的,其余元素全为零的方阵方阵。第9页/共93页10单位矩阵单位矩阵(Identity Matrix):主对角元素全为
3、主对角元素全为1 1,其余元素都为零的方阵。,其余元素都为零的方阵。记作:第10页/共93页11例例3:从变量从变量到变量到变量的的线性变换线性变换.其中其中为常数为常数.第11页/共93页12线性变换与矩阵之间的对应关系.恒恒等等变变换换单单位位阵阵第12页/共93页132 矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 A与与B 的和记作的和记作A+B,规定为,规定为定义定义2第13页/共93页14注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.第14页/共93页15负矩阵:负矩阵:称为矩阵称为矩阵 A的负矩阵。的负矩阵。第15页/共93页16矩阵加法满足的运
4、算规律矩阵加法满足的运算规律:第16页/共93页17二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义3第17页/共93页18第18页/共93页19数乘矩阵满足的运算规律:数乘矩阵满足的运算规律:矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设设 A,B为为mn 矩阵,矩阵,l l,m m 为数为数第19页/共93页20定义定义4 4并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 ms 矩阵,矩阵,是是一个 sn 矩阵,那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个 mn 矩阵 ,其中ss第20页/共93页21第21页/共93页22例:例:第22页/共93页23第23页/共93
5、页24第24页/共93页251.矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律注意:注意:设A 左乘 BB 右乘 A第25页/共93页262.矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律设但注意:注意:第26页/共93页27第27页/共93页28矩阵乘法满足的运算规律:第28页/共93页29若 A是 n 阶方阵,则 为A的 次幂,即 方阵的幂:方阵的幂:并且并且第29页/共93页30方阵的多项式:方阵的多项式:第30页/共93页31例例.设设求求第31页/共93页32第32页/共93页33四.矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做新矩阵,叫做
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