第模煳控制的数学基础.pptx
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1、2)集合的表示法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来,该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A,则A可表示为 A=10,12,14,16,18,20*表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数,10a 202.2.1 普通集合*列举法第1页/共56页*集合交设X,Y为两个集合,由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X,Y的交集,记作P=XY*集合并设X,Y为两个集合,由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X,Y的并集,记作Q=XY *集合补在论域Y上有集合X,则X的补集为3)集合的运算 2.2.
2、1 普通集合第2页/共56页具体算法是:在X,Y中各取一个元素组成序偶(x,y),所有序偶组成的集合,就是X,Y的直积。*集合的直积 设X,Y为两集合,定义X,Y的直积为4)集合的特征函数设x为论域X中的元素,A为论域X中定义的一个集合,则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是0,1,它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A,那么的值为1;如果x不属于集合A,那么的值为0。即2.2.1 普通集合第3页/共56页(1)模糊集合的定义:2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 例2.3.1 2.3.1 论域为1515到4040岁之间的人,模糊集 表示“年轻人”,则模糊集的隶属函数
3、可定义为则年龄为3030岁的人属于“年轻人”的程度为:给定论域E E中的一个模糊集 ,是指任意元素xExE,都不同程度地属于这个集合,元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 00,11来表示。第4页/共56页(2)模糊集合的表示法:1)Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时,定义在该论域上的模糊集可表示为:注意:式中的“”和“/”,仅仅是分隔符号,并不代表“加”和“除”。例2.3.2 假设论域为5个人的身高,分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm,他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示
4、为 高个子 2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第5页/共56页2)序偶表示法 当论域上的元素为有限个时,定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为:或简化为:对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子或 高个子2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第6页/共56页3)隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。假设年龄的论域为U=15,35,则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为:该隶属函数的形状如图 2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第7页/共56页(3)模糊集合的运算 模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。假设和为论域U上的两个模糊集,它们
5、的隶属函数分别为和n 模糊集交n 模糊集并n 模糊集补n 相等若,总有成立,则称和相等,记作。n 包含若,总有成立,则称包含,记作。2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第8页/共56页例2.3.3:设论域U=a,b,c,d,e上有两个模糊集分别为:求 2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第9页/共56页(4)模糊运算的性质:n交换率,n结合率,n分配率n传递率,则,n幂等率n摩根率,n复原率2.2.2 2.2.2 模糊集合模糊集合 第10页/共56页2.2.3 2.2.3 水平截集水平截集水平截集的定义 在论域U中,给定一个模糊集合A,由对于A的隶属度不小于某一水平值(阈值)的元素
6、组成的集合,叫做该模糊集合的水平截集。用公式可以描述如下:其中其中xUxU,0,10,1。显然,。显然,A A是一个普通集合。是一个普通集合。例2.4.1 2.4.1 已知,求A0.1、A0.2、A0.7 第11页/共56页2.2.3 2.2.3 水平截集水平截集水平截集的性质 1 1)ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的并集:的并集:2 2)ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的交集:的交集:3 3)如果)如果0,1,0,10,1,0,1且且 ,则,则第12页/共56页2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系 (1)普通关系“关系”是集合论中的一个重要概念,它反映了
7、不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。例2.5.1 举行一次东西亚足球对抗赛,分两个小组A=中国,日本,韩国,B=伊朗,沙特,阿联酋。抽签决定的对阵形势为:中国-伊朗,日本-阿联酋,韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系,则R可用序偶的形式表示为:R=(中国,伊朗),(日本,阿联酋),(韩国,沙特)第13页/共56页可见关系R是A,B的直积AB的子集。也可将R表示为矩阵形式,假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系,如有对阵关系,则r(i,j)为1,否则为0,则R可表示为:该矩阵称为A和B的关系矩阵。由普通关系的定义可以看
8、出:在定义了某种关系之后,两个集合的元素对于这种关系要么有关联,r(i,j)1;要么没有关联,r(i,j)0。这种关系是很明确的。2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第14页/共56页(2)模糊关系人和人之间关系的“亲密”与否?儿子和父亲之间长相的“相像”与否?家庭是否“和睦”?这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述,而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展,从而得出模糊关系的定义。2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第15页/共56页 模糊关系的定义 假设x是论域U中的元素,y是论域V中的元素,则U到V的一个模糊关
9、系是指定义在上的一个模糊子集,其隶属度代表x和y对于该模糊关系的关联程度。例2.5.2 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系,假设儿子与父亲的相像程度为0.8,与母亲的相像程度为0.3;女儿与与父亲的相像程度为0.3,与母亲的相像程度为0.6。则可描述为:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第16页/共56页模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设xU,yV,则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第17页/共56页 模糊关系的运算 假设R和S是论域上UV的两个模糊关系,分别描述为:那么,模糊关系的运算规则可
10、描述如下:模糊关系的相等:模糊关系的包含:模糊关系的并:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第18页/共56页模糊关系的交:模糊关系的补:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第19页/共56页例2.5.3 已知 求:解:根据模糊关系的运算规则得:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第20页/共56页 模糊关系的合成设R是论域UV上的模糊关系,S是论域VW上的模糊关系,R和S分别描述为:则R和S可以合成为论域UW上的一个新的模糊关系C,记做合成运算法则为:2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第21页/共56页例2.5.4:假设模糊关系R描述了子女与父亲、叔叔长相的“相象”关系,模
11、糊关系S描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相的“相象”关系,R和S分别描述为:求子女与祖父、祖母长相的“相像”关系C.2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第22页/共56页解:由合成运算法则得:所以,2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第23页/共56页(3)模糊变换 2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系设有二个有限集X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn,R是XY上的模糊关系:设A和B分别为X和Y上的模糊集:的隶属函数运算规则为:则称B是A的象,A是B的原象,R是X到Y上的一个模糊变换。且满足第24页/共56页2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系例2.5.5:已知论域X=x1
12、,x2,x3和Y=y1,y2,A是论域X上的模糊集:R是X到Y上的一个模糊变换,试通过模糊变换R求A的象B解:第25页/共56页例2.5.6 艺术学院招生,对考生所需考察的素质有:歌舞,表演,外在。对各种素质的评语分为四个等级好,较好,一般,差。某学生表演完毕后,评委对其评价为:好好较好较好一般一般差差歌舞歌舞30302020表演表演10205020外在外在40401010如果考察学生培养为电影演员的潜质,则对表演的要求较高,其它较低。定义加权模糊集为:A0.25 0.5 0.25试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第26页/共56
13、页 解:根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集:综合评判:选取隶属度最大的元素作为最终的评语,评委的评语为“一般”2.2.4 2.2.4 模糊关系模糊关系第27页/共56页2.2.5 语言规则中蕴涵的模糊关系“天气很冷,快要下雪了”气温-下雪概率(1)语言变量 语言变量是自然语言中的词或句,它的取值不是通常的数,而是用模糊语言表示的模糊集合。例如“年龄”就可以是一个模糊语言变量,其取值为“年幼”,“年轻”,“年老”等模糊集合。第28页/共56页定义一个语言变量需要定义以下4个方面的内容:定义变量名称 定义变量的论域 定义变量的语言值(每个语言值是定义在变量论域上的一个模糊集合)
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