数列极限的概念.ppt
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1、第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件2.1 数列极限的概念数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S?用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2 2、截丈问题:、截丈问题:“一尺之棰,日截其半,万世不竭一尺之
2、棰,日截其半,万世不竭”二、数列的定义例如例如注意:注意:1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数数列极限来自实践,它有丰富的实数列极限来自实践,它有丰富的实际背景际背景.我们的祖我们的祖 先很早就对数列先很早就对数列进行了研究,早在战国时期就有了进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念极限的概念 例例1 战国时代哲学家庄周所著的庄子战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用天下篇引用过一句话:过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也也就是说一根一尺就是说一根一尺
3、 长的木棒,每天截去一半,这样的过长的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列成一列,如图所示如图所示,三、数列的极限(c11(k)c11(k))其长度组成的数列为其长度组成的数列为,024681000.20.40.60.81随着随着n 无限的增加无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。木棒的长度无限的趋近于零。例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为v数列极限的通俗定义问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接
4、近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:当n无限增大时 xn无限接近于a.当n无限增大时|xna|无限接近于0.当n无限增大时|xna|可以任意小 要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a.当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则数列xn收敛a.下页v数列极限
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