鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解(新版).pdf
《鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解(新版).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解(新版).pdf(35页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】1已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:总脚数-每只鸡的脚数总头数 每只兔的脚数-每只鸡的脚数=兔数;总头数-兔数=鸡数。或者是 每只兔脚数总头数-总脚数 每只兔脚数-每只鸡脚数=鸡数;总头数-鸡数=兔数。例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”解一 100-2364-2=14只兔;36-14=22只鸡。解二 436-1004-2=22只鸡;36-22=14只兔。答 略 2已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式 每只鸡脚数总头数-脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数;总头数-兔数=鸡数 或
2、每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只免的脚数=鸡数;总头数-鸡数=兔数。例略 3已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数;总头数-兔数=鸡数。或每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=鸡数;总头数-鸡数=兔数。例略 4得失问题鸡兔问题的推广题的解法,可以用下面的公式:1只合格品得分数产品总数-实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数。或者是总产品数-每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数。例如,“灯泡厂生产灯
3、泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”解一 41000-35254+15 =47519=25个 解二 1000-151000+35254+15 1000-1852519 =1000-975=25个 答略 “得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。5鸡兔互换问题已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题,可用下面的公式:两次总脚数之和每只鸡兔脚数和+两次总脚数之差每只鸡兔脚
4、数之差 2=鸡数;两次总脚数之和每只鸡兔脚数之和-两次总脚数之差每只鸡兔脚数之差 2=兔数。例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,假设将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?”解 52+444+2+52-444-2 2 =202=10只鸡 52+444+2-52-444-2 2 =122=6只兔答略 鸡兔同笼 目录 1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程 4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 详细解法 基本问题 特殊算法 习题 8 鸡兔同笼公式 1 总述 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500 年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样表达的:
5、“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有假设干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有 35 个头,从下面数,有 94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔?算这个有个最简单的算法。总脚数-总头数鸡的脚数兔的脚数-鸡的脚数=兔的只数 943522=12(兔子数)总头数35兔子数12=鸡数23 解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚,这样笼子里的脚就减少了头数2 只,由于鸡只有 2 只脚,所以笼子里只剩下兔子的两只脚,再除以2 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2 假设法 假设全是鸡:235=70只 鸡脚比总脚数少:9470=24 只 兔:24(4-2)=12 只 鸡:3512
6、=23只 假设法通俗 假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立的脚:94-35=59只 然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24 只 兔:242=12 只 鸡:35-12=23只 3 方程法 一元一次方程 解:设兔有 x 只,则鸡有(35-x只。4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12 35-12=23(只 或 解:设鸡有 x 只,则兔有35-x只。2x+4(35-x)=94 2x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只 答:兔子有 12 只,鸡有 23
7、只。注:通常设方程时,选择腿的只数多的动物,会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上,好算一些。二元一次方程 解:设鸡有 x 只,兔有 y 只。x+y=35 2x+4y=94 x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12 把 y=12 代入x+y=35)x+12=35 x=35-12只 x=23只。答:兔子有 12 只,鸡有 23 只 4 抬腿法 法一 假设让鸡抬起一只脚,兔子抬起 2 只脚,还有 94 除以 2=47 只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多 1,这时,脚与头的总数之差 47-35=12,就是兔子的只数。法二 假设鸡与兔子都抬起两只脚,
8、还剩下 94352=24 只脚,这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有 242=12 只兔子,就有 3512=23 只鸡 5 列表法 腿数 鸡只数 兔只数 6 详解 中国古代孙子算经共三卷,成书大约在公元 5 世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比方“鸡兔同笼”问题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?题目中给出雉兔共有 35 只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了 2 只脚,即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70只,比题中所说的 94 只要少 9
9、4-70=24只。现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加 2 只,即70+2=72只,再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加 2,2,2,2,一直继续下去,直至增加 24,因此兔子数:242=12 只,从而鸡有 35-12=23只。我们来总结一下这道题的解题思路:如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差 2 只脚就说明有 1 只兔,将所差的脚数除以 2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数每只兔子脚数-每只鸡脚数。类似地,也可以假设全是
10、兔子。我们也可以采用列方程的方法:设兔子的数量为 x,鸡的数量为 y 那么:x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出:兔子有 12 只,鸡有 23 只。7 详细解法 基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有假设干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只 解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着。现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是 2442=122只.在 122
11、 这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次。因此从 122 减去总头数 88,剩下的就是兔子头数 122-88=34只,有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只。答:有兔子 34 只,鸡 54 只。上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数 特殊算法 上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是 4 和 2,上面的计算方法就行不通。因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想
12、 88 只都是兔子,那么就有 488 只脚,比 244 只脚多了 884-244=108只.每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡 (884-244)(4-2)=54只.说明我们设想的 88 只兔子中,有 54 只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=兔脚数总头数-总脚数兔脚数-鸡脚数.当然,我们也可以设想 88 只都是鸡,那么共有脚 288=176只,比 244 只脚少了 244-176=68只.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,682=34只.说明设想中的鸡,有 34 只是兔子,也可以列出公式 兔数=总脚数-鸡脚数总头数兔脚数-鸡脚数.上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,
13、再用总头数去减,就知道另一个数。假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法.现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支 0.19 元,蓝铅笔每支 0.11 元,两种铅笔共买了 16支,花了 2.80 元。问红,蓝铅笔各买几支?解:以分作为钱的单位.我们设想,一种鸡有 11 只脚,一种兔子有 19 只脚,它们共有 16 个头,280 只脚。现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11)=248 =3支.红笔数=16-3=13支.答:买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算,常常可以利
14、用已知脚数的特殊性.例 2 中的脚数19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中,8 只是兔子,8 只是鸡,根据这一设想,脚数是 8(11+19)=240支。比 280 少 40.40(19-11)=5支。就知道设想中的 8 只鸡应少 5 只,也就是鸡(蓝铅笔数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些。利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如,设想 16 只中,兔数为 10,鸡数为 6,就有脚数 1910+116=256.比 280 少 24.24(19-11)=3,就知道设想 6 只鸡,要少 3 只。要使设想的数,能给计
15、算带来方便,常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打假设干小时后,因有事由乙接着打完,共用了 7 小时。甲打字用了多少小时?解:我们把这份稿件平均分成 30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数,甲每小时打 306=5份,乙每小时打 3010=3份.现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3,总脚数是 30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式 兔数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了 4.5
16、小时,乙打字用了 2.5 小时。答:甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年,父母年龄整数和是 78 岁,兄弟的年龄和是 17 岁。四年后(2002 年父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年?解:4 年后,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数。25 是总头数.86 是总脚数.根据公式,兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14岁.1998 年,兄年龄是 14-4=10岁.父年龄是 (25-14)4-4
17、=40岁.因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15岁.这是 2003 年。答:公元 2003 年时,父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿,蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只,有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只?解:因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成8 条腿与6 条腿两种。利用公式就可以算出 8 条腿的 蜘蛛数=(118-618)(8-6)=5只.因此就知道 6 条腿的小虫共 18-5=13只.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只,它们共有 20 对翅
18、膀。再利用一次公式 蝉数=(132-20)(2-1)=6只.因此蜻蜓数是 13-6=7只.答:有 5 只蜘蛛,7 只蜻蜓,6 只蝉。例 6 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人?解:对 2 道,3 道,4 道题的人共有 52-7-6=39人.他们共做对 181-17-56=144道.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数
19、=144,总头数=39.对 4 道题的有 39)(4-2.5)=31人.答:做对 4 道题的有 31 人。以例 1 为例 有假设干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只?以简单的 X 方程计算的话,我们一般用设大数为 X,那么也就是设兔为 X,那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数,即88-X只。解:设兔为 X 只。则鸡为88-X只。4X+288-X=244 上列的方程解释为:兔子的脚数加上鸡的脚数,就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数,288-X就是鸡的脚数。4X+288-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X2=682
20、X=34 即兔子为 34 只,总数是 88 只,则鸡:88-34=54 只。答:兔子有 34 只,鸡有 54 只。习题一 1龟鹤共有 100 个头,350 只脚.龟,鹤各多少只?2学校有象棋,跳棋共 26 副,恰好可供 120 个学生同时进行活动。象棋 2 人下一副棋,跳棋 6 人下一副.象棋和跳棋各有几副?3一些 2 分和 5 分的硬币,共值 2.99 元,其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍,问 5 分硬币有多少个?4某人领得工资 240 元,有 2 元,5 元,10 元三种人民币,共 50 张,其中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元,5 元,10 元各有多少张?5一
21、件工程,甲单独做 12 天完成,乙单独做 18 天完成,现在甲做了假设干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16 天.甲先做了多少天?6摩托车赛全程长 281 千米,全程被划分成假设干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3 千米,一段平路(4 千米,一段下坡路(2 千米和一段平路(4 千米组成的;有的是由一段上坡路(3 千米,一段下坡路(2 千米和一段平路(4 千米组成的。已知摩托车跑完全程后,共跑了 25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段?7用 1 元钱买 4 分,8 分,1 角的邮票共 15 张,问最多可以买 1 角的邮票多少张?二、两数之差的问题 鸡兔同笼中的总头数
22、是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票,共花 6 元 8 角。已知 8 分的邮票比 4分的邮票多 40 张,那么两种邮票各买了多少张?解一:如果拿出 40 张 8 分的邮票,余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30张,这就知道,余下的邮票中,8 分和 4 分的各有 30 张。因此 8 分邮票有 40+30=70张.答:买了 8 分的邮票 70 张,4 分的邮票 30 张。也可以用任意假设一个数的方法.解二:譬如,假设有 20 张 4 分,根据条件8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张 8 分
23、。以分作为计算单位,此时邮票总值是 420+860=560.比 680 少,因此还要增加邮票。为了保持差是 40,每增加 1 张 4分,就要增加 1 张 8 分,每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10张.因此 4 分有 20+10=30张,8 分有 60+10=70张.例 8 一项工程,如果全是晴天,15 天可以完成。倘假设下雨,雨天比晴天多 3 天,工程要多少天才能完成 解:类似于例 3,我们设工程的全部工作量是 150 份,晴天每天完成10 份,雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法,晴天有 (150-83)(10+8)=7天.雨天是 7+3=10 天,总共 7
24、+10=17天.答:这项工程 17 天完成。请注意,如果把雨天比晴天多 3 天去掉,而换成已知工程是 17 天完成,由此又回到上一节的问题.差是 3,与和是 17,知道其一,就能推算出另一个。这说明了例 7,例 8 与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只?解一:假设再补上 28 只鸡脚,也就是再有鸡 282=14只,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚 42=2倍,于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍。兔的只数是 (100+282)(2+1)=38只.鸡是 100-38=62只.答
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 问题 基本 公式 例题 讲解 新版
限制150内