2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第21讲 一类中点连线过定点问题含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第21讲 一类中点连线过定点问题一、解答题 1在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知平行四边形两条对角线的长度之和等于(1)求动点的轨迹方程;(2过作互相垂直的两条直线、,与动点的轨迹交于、,与动点的轨迹交于点、,、的中点分别为、;证明:直线恒过定点,并求出定点坐标求四边形面积的最小值2在直角坐标系中,已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程;(2)过点作互相垂直的两条直线,与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,线段,的中点分别为,求证:直线过定点,并求出定点的坐标3已知斜率为的的直线与椭圆交于点,线段中点为,直线在轴上
2、的截距为椭圆的长轴长的倍.(1)求椭圆的方程;(2)若点都在椭圆上,且都经过椭圆的右焦点,设直线的斜率分别为,线段的中点分别为,判断直线是否过定点,若过定点.求出该定点,若不过定点,说明理由.4已知中心在原点,焦点在轴的椭圆过点,且焦距为2,过点分别作斜率为的椭圆的动弦,设分别为线段的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标5椭圆:的左右焦点分别为,左右顶点分别为,为椭圆上的动点(不与,重合),且直线与的斜率的乘积为(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线与(均不与轴重合)分别与椭圆交于,四点,线段、的中点分别为、,求证:直线过定点,并求出该定点坐标6已
3、知椭圆的标准方程为,该椭圆经过点,且离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦若弦的中点分别为,证明:直线恒过定点7设圆过点,且在轴上截得的弦的长为4.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)过点,作轨迹的两条互相垂直的弦,设、的中点分别为、,试判断直线是否过定点?并说明理由.8已知抛物线,过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.(1)若,求;(2)过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点,且分别是线段的中点,若,证明:直线过定点.第21讲 一类中点连线过定点问题一、解答题 1在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知平行四边形两条对角线的长度之和等于(1)求动点的轨迹方程;(2过作互
4、相垂直的两条直线、,与动点的轨迹交于、,与动点的轨迹交于点、,、的中点分别为、;证明:直线恒过定点,并求出定点坐标求四边形面积的最小值【答案】(1);(2)证明见解析,定点坐标为;.【分析】(1)设点的坐标为,根据已知条件得出,结合椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆,求出、的值,结合椭圆的焦点位置可得出点的轨迹方程,并求出的取值范围;(2)分析出直线的斜率存在且不为零,可设直线的方程为,可得出直线的方程为,设点、,将直线的方程与点的轨迹方程联立,求出点的坐标,同理求出点的坐标,求出直线的方程,进而可得出直线所过定点的坐标;求得、,利用基本不等式可求得四边形面积的最小值【详解】(1)设点,依题意,所以
5、动点的轨迹为椭圆(左、右顶点除外),则,动点的轨迹方程是;(2)若与轴重合,则直线与动点的轨迹没有交点,不合乎题意;若与轴重合,则直线与动点的轨迹没有交点,不合乎题意;设直线的方程为,则直线的方程为,直线、均过椭圆的焦点(椭圆内一点),、与椭圆必有交点设、,由,由韦达定理可得,则,所以点的坐标为,同理可得点,直线的斜率为,直线的方程是,即,当时,直线的方程为,直线过定点综上,直线过定点;由可得,同理可得,所以,四边形的面积为,当且仅当取等号因此,四边形的面积的最小值为.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是
6、代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值2在直角坐标系中,已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程;(2)过点作互相垂直的两条直线,与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,线段,的中点分别为,求证:直线过定点,并求出定点的坐标【答案】(1);(2)证明见解析;【解析】试题分析:(1)设圆心坐标,利用圆心的半径相等可建立等式,求得曲线的方程;(2)易知两直线的斜率都存在,设直线斜率可得直线方程,与抛物线方程联立可得点坐标,同理可得的坐标,得直线的方程,得其过定点,且得出定点坐标
7、试题解析:(1)设圆心,依题意有,即得,曲线的方程为(2)易知直线,的斜率存在且不为0,设直线的斜率为,则直线:,由得,同理得当或时,直线的方程为;当且时,直线的斜率为,直线的方程为,即,直线过定点,其坐标为考点:曲线的轨迹方程;直线与抛物线的位置关系【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题:(1)当不含参数时,可通过解不等式直接得到单调递增(或递减)区间(2)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围3已知斜率为的的直线与椭圆交于点,线段中点为,直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.(1)求椭圆
8、的方程;(2)若点都在椭圆上,且都经过椭圆的右焦点,设直线的斜率分别为,线段的中点分别为,判断直线是否过定点,若过定点.求出该定点,若不过定点,说明理由.【答案】(1);(2)过定点,.【分析】(1)利用点差法可得,再由直线的方程为,求出轴上的截距,结合题意即可求解.(2)设直线的方程分别为,分别将直线与椭圆方程联立,分别求出,求出直线方程,化简整理即可求解.【详解】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.(1)设,则,且两式相减得即,即,所以又直线的方程为,令,得所以,所以椭圆的方程为.(2)由题意得,直线的方程分别为,设,联立,得,所以,则同理所以 由得
9、,所以直线的方程为整理得,所以直线过定点.【点睛】关键点点睛:本题考查了直线与椭圆的位置关系,解题的关键是设出直线方程,求出点、以及直线的方程为,考查了运算求解能力,综合性比较强.4已知中心在原点,焦点在轴的椭圆过点,且焦距为2,过点分别作斜率为的椭圆的动弦,设分别为线段的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标【答案】(1);(2)(0,)【解析】试题分析:(1)由焦距为2,得,可得其焦点坐标为,又点在椭圆上,根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点的距离之和为,即可求出椭圆的标准方程;(2)求出直线的方程,利用根与系数的关系以及探究直线过哪个定点试题解析:(1)由题
10、意知设右焦点 椭圆方程为 (2)由题意,设直线,即 代入椭圆方程并化简得 同理 当时, 直线的斜率直线的方程为 又 化简得 此时直线过定点(0,)当时,直线即为轴,也过点综上,直线过定点 考点:圆锥曲线中的最值与范围问题5椭圆:的左右焦点分别为,左右顶点分别为,为椭圆上的动点(不与,重合),且直线与的斜率的乘积为(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线与(均不与轴重合)分别与椭圆交于,四点,线段、的中点分别为、,求证:直线过定点,并求出该定点坐标【答案】(1) (2)见解析, 经过定点为【解析】试题分析:(1)根据题意,列出方程,求解的值,即可求得椭圆的方程;(2)设直线:,联立椭圆方
11、程,求得的坐标,由题设若直线关于轴对称后得到直线,则得到的直线与关于轴对称,得该定点一定是直线与的交点,进而求得直线过定点试题解析:(1)设,由题,整理得,整理得,结合,得,所求椭圆方程为(2)设直线:,联立椭圆方程,得,得,由题,若直线关于轴对称后得到直线,则得到的直线与关于轴对称,所以若直线经过定点,该定点一定是直线与的交点,该点必在轴上设该点为,由,得,代入,坐标化简得,经过定点为点睛:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“
12、目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等6已知椭圆的标准方程为,该椭圆经过点,且离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦若弦的中点分别为,证明:直线恒过定点【答案】(1);(2)【分析】(1)根据已知得到方程组,解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程,即得直线MN经过的定点,再讨论当时,直线也经过定点,综上所述,直线经过定点当时,过定点【详解】(1)解:点在椭圆上,又离心率为,解得,椭圆方程为(2)证明:设直线的方程为,则
13、直线的方程为,联立,得,设,则,由中点坐标公式得,将的坐标中的用代换,得的中点,直线的方程为,令得,直线经过定点,当时,直线也经过定点,综上所述,直线经过定点当时,过定点【点睛】(1)本题主要考查求椭圆的方程,考查椭圆中直线的定点问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是求出直线的方程为,其二是讨论当时,直线也经过定点.7设圆过点,且在轴上截得的弦的长为4.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)过点,作轨迹的两条互相垂直的弦,设、的中点分别为、,试判断直线是否过定点?并说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析:(1)设圆心的坐标为,由题意结合几
14、何关系可得圆心的轨迹方程为;(2)设,联立直线与轨迹的方程可得点的坐标为,点的坐标为,则直线MN的方程为,直线恒过定点.详解:(1)设圆心的坐标为,如图过圆心作轴于,则为的中点,在中, , 即;(2)设,直线的方程为,联立有:, , 点的坐标为,同理可得:点的坐标为,直线的斜率为,其方程为,整理得,不论为何值,点均满足方程, 直线恒过定点.点睛:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值8已知抛物线,过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.(1)若,求;(2)过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点,且
15、分别是线段的中点,若,证明:直线过定点.【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)设,联立直线的方程和抛物线方程可得,然后利用即可求出(2)根据(1)中结果可得到,同理,由可推出,然后写出直线的方程化简即可.【详解】(1),设,由得,解得(2),同理,所以化简得:直线过定点【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.第22讲 等角问题一、解答题 1设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.2如图,已知椭圆:()的离心率,短轴右端点为,为线段的中点.()求椭圆
16、的方程;()过点任作一条直线与椭圆相交于两点,试探究在轴上是否存在定点,使得,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.3椭圆的离心率为,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)在轴上是否存在异于点的定点,使得直线变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.4已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上.(1)求的方程;(2)若直线与椭圆相交于,两点,试问:在轴上是否在点,当变化时,总有?若存在求出点的坐标,若不存在,请说明理由.5已知椭圆:,直线:与椭圆相交于,两点,为的中点.(1)若直线与直线(为坐标原点)的斜
17、率之积为,求椭圆的方程;(2)在(1)的条件下,轴上是否存在定点使得当变化时,总有(为坐标原点).若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.6已知椭圆C的焦点为(,0),(,0),且椭圆C过点M(4,1),直线l:不过点M,且与椭圆交于不同的两点A,B(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形7已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.8已知,动点M满足.(1)求动点
18、M的轨迹的方程;(2)设A,B是上异于点P的两点,若的倾斜角互补,求证直线斜率为定值.9已知椭圆:,直线:过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.()求椭圆的方程.()设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.10在直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于,两点,弦的中点的轨迹记为.(1)求的方程;(2)已知直线与相交于,两点.(i)求的取值范围;(ii)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.11已知椭圆的中心为原点,离心率,焦点,斜率为的直线与交于两点(1)若线段的中点为为上一点,且成等差数列
19、,求点的坐标;(2)若过点轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由12在直角坐标系中,抛物线:与直线:交于,两点.(1)设,到轴的距离分别为,证明:与的乘积为定值.(2)轴上是否存在点,当变化时,总有?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.13已知圆和定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,设点的轨迹为.(1)求的方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,试问:在轴上是否存在定点,使当变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.14在直角坐标系中,抛物线与直线 交于,两点.(1)当时,分别求抛物线在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.1
20、5在直角坐标系中,曲线:与直线交与,两点.(1)当时,求弦长;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.16在直角坐标系中,曲线与直线交于两点,()当时,求在点和处的切线方程;()若轴上存在点,当变动时,总有,试求出坐标.17在直角坐标系中,曲线:与直线:交于,两点.(1)当时,求的面积的取值范围.(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.18已知圆圆动圆与圆外切并与圆内切,圆心的轨迹为曲线.(I)求的方程.(II)若直线与曲线交于两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时总有? 若存在,请说明理由.19已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,圆心
21、的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)若直线与曲线交于两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时总有?若存在,请说明理由.20已知椭圆中心为原点,离心率,焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过定点且斜率为的直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.第22讲 等角问题一、解答题 1设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.【答案】(1)的方程为或;(2)证明见解析.【分析】(1)首先根据与轴垂直,且过点,求得直线的方程为,代入椭圆方程求得点的坐标为或,利用两点式求得直线的方程;(2)分直线与轴重合、与轴
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