216重积分的应用.ppt
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1、21.6重积分的应用第二十一章第二十一章 重积分重积分一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、立体的体积二重积分的二重积分的几何意义几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积例例1 计算由曲面计算由曲面及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 V1。由立体的对称性,所求立由
2、立体的对称性,所求立体体积体体积 V=4V1。立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,它的曲成是一个曲顶柱体,它的曲顶为顶为立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,它的曲成是一个曲顶柱体,它的曲顶为顶为它的底为它的底为于是,于是,所求立体的体积所求立体的体积例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。解解所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体,顶柱体,它的曲顶为它的曲顶为它的底为它的底为它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是,立体体积为于是,立体体积为例例3 求球体求球体被
3、圆柱面被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。解解显然,所求立体应在第一、显然,所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。第四、第五、第八卦限。而且,四个卦限部分的体积而且,四个卦限部分的体积是对称相等的。是对称相等的。因此,若设第一卦限部分的体因此,若设第一卦限部分的体积为积为 V1,则所求立体的体积为则所求立体的体积为V1 可以看成是一个曲顶柱体,可以看成是一个曲顶柱体,它的曲顶为它的曲顶为它的底它的底D 由半圆周由半圆周及及 x 轴围成。轴围成。用极坐标系表示用极坐标系表示于是,于是,所求立体体积所求立体体积二、曲面的面积设曲面的方程为:
4、设曲面的方程为:如图,如图,-曲面曲面 S 的的面积元素面积元素曲面面积公式为:曲面面积公式为:设曲面的方程为:设曲面的方程为:曲面面积公式为:曲面面积公式为:设曲面的方程为:设曲面的方程为:曲面面积公式为:曲面面积公式为:同理可得同理可得解解设第一卦限部分的面积为设第一卦限部分的面积为 A1,则由对称性,所求的面积为则由对称性,所求的面积为极坐标系下表示:极坐标系下表示:例例5 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围的立体的表面在第一卦限部分的面积的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。解解所求表面分成所求表面分成和和,如图。,如图。第一块(第一块()在圆柱面)在圆柱面第一块(第一块()在圆柱面)在
5、圆柱面由对称性,这两块曲面的面积相等,即由对称性,这两块曲面的面积相等,即 A=A。因此,因此,A=2 A。在在 A上,曲面方程为上,曲面方程为A在在 A上,曲面方程为上,曲面方程为因此,因此,A=2 A。AAA于是所求面积,于是所求面积,A=2 A设在空间中有设在空间中有 n 个质量分别是个质量分别是的质点组,它们的坐标分别为的质点组,它们的坐标分别为 由静力学的知识可知,这个质点组的质心坐标由静力学的知识可知,这个质点组的质心坐标有如下的计算公式:有如下的计算公式:三、物体的重心设设 为一块可以度量的几何体,它的密度函数为为一块可以度量的几何体,它的密度函数为设设 在在 上连续,要求上连续
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