初中数学竞赛辅导资料(20200816145119).pdf
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1、初中数学竞赛辅导资料二元一次方程的整数解甲内容提要1,二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c 中,若 a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立,方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解,(9,3)3,而 3 不能整除10;(4,2)2,而 2 不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的 a,b 实为它们的绝对值。2,二元一次方程整数解的求法:若方程 ax+by=c 有整数解
2、,一般都有无数多个,常引入整数k 来表示它的通解(即所有的解)。k 叫做参变数。方法一,整除法:求方程5x+11y=1 的整数解解:x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数),则 y=1-5k(2),把(2)代入(1)得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是kykx51211(k 是整数)方法二,公式法:设 ax+by=c 有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00(x0,y0可用观察法)3,求二元一次方程的正整数解:1出整数解的通解,再解x,y 的不等式组,确定k 值2用观察法直接写出。乙例题例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解
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