昆明理工大学线性代数考试试题集及答案.pdf
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1、实用文档.线性代数 B 2010 2011 学年第一 学期课程试卷 A 一、填空1.1256427825169454321111=12.2 设 A、B 为 4 阶方阵,且,2|1A813B,则|AB1/2.3.给定矩阵A,且EA可逆,满足BAEAB2,则BEA.4设210110001A,则1A110120001.5已知321,线性相关,3不能由21,线性表示,则21,线性相关6设120,61,321321t,且1,32,线性相关,则t8 7.设A是34矩阵,且2)(AR,213010321B则)(ABR_2_ 8设三阶方阵A的每行元素之和均为零,又2)(AR,则齐次线性方程组OAx的通解为)(
2、111Rkk.9.向量组,11011,02132,3110301014的一个最大线性无关组为421,.10.设A为 n 阶方阵,0Ax有非零解,则A必有一个特征值为0.二、单项选择实用文档.1.若121203242,1122013zyxzyx则(A )A(1;)B(2;)C(1;)D(0.2设CBA,均为二阶方阵,ACAB,则当(C)时,可以推出CB.1111)D(;0110)C(;0011)B(;0101)A(AAAA3.下列结论正确的是(A)A(s,21线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B(若向量321,线性相关,则21,线性相关;)C(若n阶方阵A与对角阵相
3、似,则A有n个不同的特征值;)D(若方程组OAx有非零解,则bAx有无穷多解.4.已知321,是四元方程组bAx的三个解,其中,3)(AR43211,444432,则以下不是方程组bAx的通解为(D).)A(;43214202k)B(;43212101k)C(;22222101k)D(43210123k.5.设向量组321,线性无关,则下列向量组中线性无关的是(B))A(133221,;)B(1321,;)C(212132,;)D(32322,.6若n阶矩阵BA,有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则(A))A(A与B相似;)B(BA,但0|BA;)C(BA;)D(A与B不一定相似,
4、但|BA.实用文档.7.设,222111pAppAp且,21则以下结论正确的是(B).)A(21pp不一定是A的一个特征向量;)B(21pp一定不是A的一个特征向量;)C(21pp一定是A的一个特征向量;)D(21pp为零向量.三、k 为何值时,线性方程组kxxxxxxxxxxxxx4243214321421,6,322,1有解,并在有解时求通解.解:kkA101050100211101101110106111132121110113000050100211101101120100501002111011011kk当3k时,方程组有解,00000501003101040001A,4434215
5、34xxxxxx,(12 分)通解为10100534kX四、已知矩阵000100bbaA的特征值之和为1,特征值之积为1(1)求)0(,bba的值;(2)求可逆矩阵P和对角阵,使得APP1.实用文档.解.1,011012baba,001010100A)1()1(01010102AE.1,1321当121时,,000000101101000101AE101,01021pp当13时,101,0000101011010201013pAE110001110P取有1111APP五、计算111222111nnnnaaaaaaaaaD.11111)122211nnnniinaaaaaaarrD(解10010
6、01)121112nniinaaacccc(11)1)(1nniia(六、设A为 3 阶矩阵,12,为A的分别属于特征值1,1特征向量,向量3满足323A,证明(1)123,线性无关;(2)令123,P,求1PAP.实用文档.证明Okkk332211(1),OkkkA)(332211即Okkk)(3232211(2)(2)-(1)Okk23112因为21,线性无关,,031kk代入(1),得0,2222kOOk123,线性无关(2)1100011001PAP线性代数 B2010 2011 学年第 一 学期课程试卷 B 一、填空1.设8143701222226321|)(|44ijaA,又ijA
7、是ija的代数余子式,则44434241AAAA=0 2 设 A、B 为 3 阶方阵,且,2|A8131B,则|1BA1/6.3.设A为方阵,满足022EAA,则1A2EA.4设200031011A,则1A10001101321.5向量组1321,线性相关6设A是nm矩阵,rAR)(,则齐次线性方程组OAx有非零解的充分必要条件是nr7.设A是34矩阵,且2)(AR,213010321B则)(ABR_2_ 8设三阶方阵A的每行元素之和均为3,则A有特征值3.实用文档.9.向量组7931,1813,1511321的一个最大线性无关组为21,.10属于方阵A的不同特征值的特征向量一定线性无关.二、
8、单项选择1.若322212332313323122211211333231232221131211,1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa则(A).)A(1;)B(2;)C(1;)D(0.2设 A 为nm矩阵,且nm,则一定有(D);)B(;)A(nARmAR.)D(;)C(mARnARm3.下列结论错误的是(D)A(s,21线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B(若向量321,线性无关,则21,线性无关;)C(n阶方阵A与对角阵相似是A有n个不同的特征值的必要条件;)D(若方程组OAx有非零解,则bAx有无穷多解.4.设矩阵nmA的秩nmAR)(,下述结论中
9、正确的是D.)(AA的任意m个列向量必线性无关;)(BA的任意一个m阶子式不等于零;)(C齐次线性方程组0Ax只有零解;)(D非齐次线性方程组bAx必有无穷多解.5.n阶矩阵CBA,满足,EABC则下列各式中成立的是 D .)(AEBCADEBACCECBABEACB)(;)(;)(;6设矩阵142242Aaba的秩为 2,则 C (A)0,0 ba;(B)0,0 ba;(C)0,0 ba;(D)0,0 ba.7.BA,均为n阶方阵,则下列结论中B 成立(A),0AB则,OA或OB;(B),0AB则,0A或0B;实用文档.(C),OAB则,OA或OB;(D),OAB则,0A或0B三、k 为何值
10、时,线性方程组有解并在有解时求通解.622,0323,154325432154321kxxxxxxxxxxxxxx解kA62210031123111111k62210362210111111300000362210111111k当,52)()(3BRARk时,所以有依赖于3 个独立参数的无穷多解300000362210251101k得55443354325431362225xxxxxxxxxxxxxx).,(00032000650102100121321321Rccccccx四、已知矩阵101010101A,求可逆矩阵P与对角阵,使得APP1.解),2)(1(101010101AE2,1,03
11、21,进一步可求得相应的特征向量为实用文档.101,010,101321ppp。取101010101P,有APP1=210五、计算行列式111212121nnnnaaaaaaaaaD.11111)122211nnnniinaaaaaaaccD(解1000101)121112nniinaaarrrr(11niia六、已知n阶矩阵11110011100110001A,证明|A中所有元素的代数余子式的和为1.证,1|A分1nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111,实用文档.|AAAA又niinniiniiAAAAA11211,比较第一列元素之和有111njniijA大学线性代数期末考
12、试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2 分,共 10 分)1.若022150131x,则_。2若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解,则应满足。3已知矩阵nsijcCBA)(,满足CBAC,则A与B分别是阶矩阵。4矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。5n阶方阵A满足032EAA,则1A。二、判断正误(正确的在括号内填“”,错误的在括号内填“”。每小题2 分,共 10 分)1.若行列式D中每个元素都大于零,则0D。()2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。()3.向量组maaa,21中,如果1a与ma对应的分量成比例,则向量
13、组saaa,21线性相关。()4.0100100000010010A,则AA1。()实用文档.5.若为可逆矩阵A的特征值,则1A的特征值为。()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分,共 10 分)1.设A为n阶矩阵,且2A,则TAA()。n212n12n 4 2.n维向量组s,21(3 s n)线性无关的充要条件是()。s,21中任意两个向量都线性无关s,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示s,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示s,21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。任意n个1n维向量线性相关任意n个1n维向量线性无关任意1n个n
14、维向量线性相关任意1n个n维向量线性无关4.设A,B均为 n 阶方阵,下面结论正确的是()。若A,B均可逆,则BA可逆 若A,B均可逆,则A B可逆 若BA可逆,则BA可逆 若BA可逆,则A,B均可逆5.若4321,是线性方程组0A的基础解系,则4321是0A的()解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题(每小题 9分,共 63 分)1.计算行列式xabcdaxbcdabxcdabcxd。解实用文档.3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdx
15、cbadcxbadcbxadcbax2.设BAAB2,且A,410011103求B。解.ABEA)2(111122112)2(1EA,322234225)2(1AEAB3.设,1000110001100011B2000120031204312C且矩阵满足关系式(),X CBE求。4.问a取何值时,下列向量组线性相关?123112211,221122aaa。5.为何值时,线性方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无实用文档.穷多解时求其通解。当1且2时,方程组有唯一解;当2时方程组无解当1时,有无穷多组解,通解为10101100221cc6.设.7
16、7103,1301,3192,01414321求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。7.设100010021A,求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7 分)若A是n阶方阵,且,IAA,1A证明0IA。其中I为单位矩阵。实用文档.大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.5 2.13.nnss,4.相关5.EA3二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxd
17、cbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2.ABEA)2(111122112)2(1EA,322234225)2(1AEAB3.实用文档.121001210012000112100121001200011234012300120001)(100021003210432111BCEXBCBCBC,4.)22()12(812121212121212321aaaaaaaa,当21a或1a时,向量组321aaa,线性相关。5.当1且2时,方程组有唯一解;当2时方程组无解当1时,有无穷多组解,通解为10101100221cc6.0000110020102001131300161600241
18、031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa,实用文档.则34321aaaar,其中321aaa,构成极大无关组,321422aaaa7.0)1(1200100013AE特征值1321,对于 11,0200000001AE,特征向量为100001lk五、证明题AIAIAIAAAAIA02AI,0AI一、选择题(本题共4小题,每小题 4 分,满分 16 分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设 A,B 为 n 阶方阵,满足等式0AB,则必有()(A)0A或0B;(B)0BA;(C)0A或0B;(D)0BA。2、A和 B 均为n
19、阶矩阵,且222()2ABAABB,则必有()(A)AE;(B)BE;(C)AB.(D)ABBA。3、设 A为nm矩阵,齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是()(A)A的列向量线性无关;(B)A的列向量线性相关;(C)A的行向量线性无关;(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵 A为奇异矩阵的充要条件是()(A)A的秩小于n;(B)0A;(C)A的特征值都等于零;(D)A的特征值都不等于零;实用文档.二、填空题(本题共4小题,每题 4 分,满分 16 分)5、若 4 阶矩阵 A的行列式5A,A 是 A的伴随矩阵,则A=。6、A为nn阶矩阵,且220AAE,则1(2)AE。7、已知方程组43121
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