重积分的应用 (2)课件.ppt
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1、关于重积分的应用(2)1现在学习的是第1页,共34页2一、曲面的面积 设设 D 为为可求面可求面积积的平面有界区域的平面有界区域,在在 D 上上 具有连续的一阶偏导数,现讨论由方程具有连续的一阶偏导数,现讨论由方程 所表示的曲面所表示的曲面 S 的面积的面积.(1)对对区域区域 D 作分割作分割 T,把,把 D 分成分成 n 个小区域个小区域 .这这个分割相个分割相应应地将曲面地将曲面 S 也分成也分成 n 个个 小曲面片小曲面片(2)在每个在每个 上任取一点上任取一点,作曲面在作曲面在这这一点的切一点的切 现在学习的是第2页,共34页3近近用切平面用切平面代替代替小小 曲面片曲面片从从而当而
2、当 充分小充分小时时,有有 ,并在并在上取出一小上取出一小块块,使得使得 与与在在平面平面这这里里 分别分别 平面上的投影都是平面上的投影都是(见图见图 21-38).).在点在点 附附 现在学习的是第3页,共34页4(3)当当 时时,定定义义和式和式的极限的极限(若存在若存在)现在按照上述曲面面积的概念现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的来建立曲面面积的 计算公式计算公式.为为此首先此首先计计算算的面的面积积.由于切平面由于切平面的法向量就的法向量就 是曲是曲面面 S 在点在点处处的法向量的法向量 n,记记它与它与 z 作为作为 的面积的面积.的面的面积积.表示表示 轴轴的夹角为的夹
3、角为 则则 现在学习的是第4页,共34页5注意到和数注意到和数 是是连续连续函数函数 在有界在有界闭闭域域 D 现在学习的是第5页,共34页6上的上的积积分和分和,于是当于是当 时时,上式左上式左边趋边趋于于 而右边而右边趋趋于于 这这就得就得 或另一形式或另一形式:到曲面到曲面 S 的面积计算公式的面积计算公式:现在学习的是第6页,共34页7解解 据曲面面积公式据曲面面积公式,其中其中 D 是是 曲面方程曲面方程 例例1 求求圆锥圆锥 在在圆圆柱体柱体 内内 那一部分的面积那一部分的面积.故故 是是 现在学习的是第7页,共34页8表示,其中表示,其中 在在 D 上具有上具有连续连续的的 一阶
4、偏导数一阶偏导数,且且 若空间曲面若空间曲面 S 由参数方程由参数方程 参数曲面的面积公式参数曲面的面积公式现在学习的是第8页,共34页9则则曲面曲面 S 在点在点 的法的法线方向为线方向为 记记 与与 轴夹轴夹角的余弦角的余弦则为则为 现在学习的是第9页,共34页10其中其中 当当时时,对对公式公式(2)作作变换变换:现在学习的是第10页,共34页11则有则有 由由(4),),便得参数曲面便得参数曲面(3)的面积公式:的面积公式:现在学习的是第11页,共34页12例例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 (图(图21-39中阴影部分中阴影部分)
5、.).解解 设球面的参数方程为设球面的参数方程为:其中其中 R 是是球面半径球面半径.这这里是求当里是求当 时时球面上的面球面上的面积积.由于由于 现在学习的是第12页,共34页13所以所以 由公式由公式(5)即得所求曲面的面积即得所求曲面的面积:注注 在讨论曲线的弧长时在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度我们曾用弧内接折线长度 现在学习的是第13页,共34页14地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可行的,对此读者可参见有关的数学分析教程不可行的
6、,对此读者可参见有关的数学分析教程 (如菲赫金哥尔茨(如菲赫金哥尔茨微积分学教程微积分学教程中译本第三卷中译本第三卷 第二分册第二分册).).的面积公式,下面用二重积分给予严格证明的面积公式,下面用二重积分给予严格证明.*例例3 设平面光滑曲线的方程为设平面光滑曲线的方程为 的极限来定义的极限来定义(当各段的长趋于零时当各段的长趋于零时),),但能否类似但能否类似 在上册的定积分应用中,曾用微元法给出过旋转面在上册的定积分应用中,曾用微元法给出过旋转面 现在学习的是第14页,共34页15求求证证此曲此曲线绕线绕 轴轴旋旋转转一周得到的旋一周得到的旋转转面的面面的面积为积为 证证 由于上半旋由于
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