2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第7讲 共线问题含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第7讲 共线问题一、解答题 1已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.(1)求椭圆方程;(2)求的取值范围2已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为的直线与C相交于A,B,且,O坐标原点.(1)求椭圆的离心率e;(2)若,过点F作与直线平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点.()求的值;()点M满足,直线与椭圆的另一个交点为N,求的值.3已知曲线.(1)若曲线C表示双曲线,求的范围;(2)若曲线C是焦点在轴上的椭圆,求的范围;(3)设,曲线
2、C与轴交点为A,B(A在B上方),与曲线C交于不同两点M,N,与BM交于G,求证:A,G,N三点共线.4已知圆O的方程为,圆O与y轴的交点为A,B(点A在点B的上方),直线与圆O相交于M,N两点(1)当k=1时,求弦长;(2)若直线y=4与直线BM交于点D,求证:D、A、N三点共线.5已知椭圆: 的左顶点为,右焦点为, 为原点, , 是轴上的两个动点,且,直线和分别与椭圆交于, 两点()求的面积的最小值;()证明: , , 三点共线.6已知抛物线的焦点为F,直线l与抛物线C交于两点.(1)若直线l的方程为,求的值;(2)若直线l的斜率为2,l与y轴的交点为P,且,求.7已知抛物线的焦点为,斜率
3、为的直线与的交点为,与轴的交点为.(1)若,求直线的方程;(2)若,求线段的长度.8在平面直角坐标系中,A(1.0),B(1,0),设ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于点P,Q,R,已知|CP|1,记动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过G(2,0)的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线E交于点H,HAx轴,过S的另一直线与曲线E交于M、N两点,若SSMG6SSHN,求直线MN的方程.9已知椭圆=1(ab0)的右焦点为F(2,0),且过点(2,)(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为M,过点F且斜率为-1的直线与l交于点N,若sin
4、FON(O为坐标原点),求k的值10如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的半焦距为c,且过点,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.(1)求椭圆E的方程;(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且,若直线OA,OB的斜率之积为,求证:.11已知椭圆C:上的点到右焦点F的最大距离为,离心率为求椭圆C的方程;如图,过点的动直线l交椭圆C于M,N两点,直线l的斜率为,A为椭圆上的一点,直线OA的斜率为,且,B是线段OA延长线上一点,且过原点O作以B为圆心,以为半径的圆B的切线,切点为令,求取值范围12已知抛物线与椭圆的一个交点为,点是的焦点,
5、且.(1)求与的方程;(2)设为坐标原点,在第一象限内,椭圆上是否存在点,使过作的垂线交抛物线于,直线交轴于,且?若存在,求出点的坐标和的面积;若不存在,说明理由.13在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,其右焦点为,且点在椭圆C上求椭圆C的方程;设椭圆的左、右顶点分别为A、B,M是椭圆上异于A,B的任意一点,直线MF交椭圆C于另一点N,直线MB交直线于Q点,求证:A,N,Q三点在同一条直线上14已知点是抛物线的焦点,若点在抛物线上,且求抛物线的方程;动直线与抛物线相交于两点,问:在轴上是否存在定点其中,使得向量与向量共线其中为坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由
6、15已知圆,圆, ,当两个圆有公共点时,所有可能的公共点组成的曲线记为.(1)求出曲线的方程;(2)已知向量, , , 为曲线上不同三点, ,求面积的最大值.16已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若已知点,点M,N是椭圆C上不重合的两点,且,求实数的取值范围.17已知椭圆的焦点为,P是椭圆C上一点.若椭圆C的离心率为,且,的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O是坐标原点,向量,过点(2,0)的直线l与椭圆C交于M,N两点.若点满足,求的最小值.18已知椭圆经过点,其离心率为,经过点,斜率为的直线与椭圆相交于两点()求椭圆的方程;()求的
7、取值范围;()设椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点,则是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由第7讲 共线问题一、解答题 1已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.(1)求椭圆方程;(2)求的取值范围【答案】(1)y21(2)(1,)(,1)【详解】(1)由条件知ac1,a1,bc,故C的方程为:y21(2)设l:ykx+m与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)联立得(k2+2)x2+2kmx+(m21)0(2km)24(k2+2)(m21)4(
8、k22m2+2)0 (*)x1+x2,x1x2 3,x13x2x1+x22x2,x1x23x22,消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x20,3()2+40整理得4k2m2+2m2k220 m2时,上式不成立;m2时,k2,因3,k0,k20,1m或m1容易验证k22m22成立,所以(*)成立即所求m的取值范围为(1,)(,1)2已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为的直线与C相交于A,B,且,O坐标原点.(1)求椭圆的离心率e;(2)若,过点F作与直线平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点.()求的值;()点M满足,直线与椭圆的另一个交点为N,求的值.【答案】(1);(2)()
9、;().【分析】(1)由几何关系可得点坐标,代入椭圆方程即得,又即得;(2)()将直线与椭圆联立即得结果;()将其坐标化,利用P,Q,N在椭圆上求得结果即可【详解】(1)已知,则,代入椭圆C的方程:,(2)()由(1)可得,设直线l:,联立直线l与椭圆C的方程:恒成立()设P,Q,N在椭圆上,由()可知,3已知曲线.(1)若曲线C表示双曲线,求的范围;(2)若曲线C是焦点在轴上的椭圆,求的范围;(3)设,曲线C与轴交点为A,B(A在B上方),与曲线C交于不同两点M,N,与BM交于G,求证:A,G,N三点共线.【答案】(1);(2);(3)见解析【分析】(1)若曲线表示双曲线,则:,解得的范围;
10、(2)若曲线是焦点在轴上的椭圆,则,解得的取值范围;(3)联立直线与椭圆方程结合,解得,设,求出的方程,可得,从而可得,欲证,三点共线,只需证,共线,利用韦达定理,可以证明【详解】(1)若曲线表示双曲线,则:,解得:.(2)若曲线是焦点在轴上的椭圆,则:,解得:(3)当,曲线可化为:,当时,故点坐标为:,将直线代入椭圆方程得:,若与曲线交于不同两点,则,解得,由韦达定理得:,设,方程为:,则,欲证,三点共线,只需证,共线,即,将代入可得等式成立,则,三点共线得证【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三点共线,解题的关键是直线与椭圆方程联立,利用韦达定理进行求解,
11、属于中档题.4已知圆O的方程为,圆O与y轴的交点为A,B(点A在点B的上方),直线与圆O相交于M,N两点(1)当k=1时,求弦长;(2)若直线y=4与直线BM交于点D,求证:D、A、N三点共线.【答案】(1);(2)证明见解析;【分析】(1)先求出圆心到直线的距离,再由代入计算即可;(2)联立,借用韦达定理表示出,证明,即可证明D、A、N三点共线.【详解】(1),直线l的方程为.圆心到直线的距离,;(2)由题可得,设,联立得:,令,得,D、A、N三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,圆的弦长的求解,韦达定理的应用,考查了学生的运算求解能力.5已知椭圆: 的左顶点为,右焦点为, 为
12、原点, , 是轴上的两个动点,且,直线和分别与椭圆交于, 两点()求的面积的最小值;()证明: , , 三点共线.【答案】(1)1;(2)详见解析。【解析】试题分析:()设, ,然后根据求得的值,从而得到的表达式,从而利用基本不等式求出最小值,;()首先设出直线的方程,然后联立椭圆方程,利用韦达定理得到点坐标间的关系,从而使问题得证试题解析:()设, ,可得,当且仅当时等号成立,四边形的面积的最小值为1(), ,直线的方程为,由得,由,得,同理可得, 故由可知: ,代入椭圆方程可得,故, 分别在轴两侧, , , 三点共线点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲
13、线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法6已知抛物线的焦点为F,直线l与抛物线C交于两点.(1)若直线l的方程为,求的值;(2)若直线l的斜率为2,l与y轴的交点为P,且,求.【答案】(1)18;(2).【分析】(1)设出点的坐标联立直线与抛物线的方程,消去,由韦达定理可得,由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.(2)可设直线l的方程为,联立直线与抛物线的方程,消去,结合韦达定理以及可解出,根据弦长公式即可得结果.【详解】(1)设,.联立整
14、理得, 则. 因为均在抛物线C上,所以. (2)设,则直线l的方程为.联立整理得, 则,且,即. 因为,所以点N为线段的中点,所以. 因为,所以,此时, 故.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,直线与抛物线相交时所得的弦长问题,注意抛物线性质的应用,属于中档题.7已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与的交点为,与轴的交点为.(1)若,求直线的方程;(2)若,求线段的长度.【答案】(1)(2)【分析】(1)设直线方程为,直线方程与抛物线方程联立,由根与系数关系求出,进而得出建立的方程,求解即可;(2)由,得,结合(1)中的关系,即可求出结论.【详解】 设直线方程为,联立由得,.由抛物线的定
15、义知所以,满足,符合题意,所以直线方程为.由(1)得.由得,解得,满足,符合题意,所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用,不要遗漏两交点存在满足的条件,考查计算求解能力,属于基础题.8在平面直角坐标系中,A(1.0),B(1,0),设ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于点P,Q,R,已知|CP|1,记动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过G(2,0)的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线E交于点H,HAx轴,过S的另一直线与曲线E交于M、N两点,若SSMG6SSHN,求直线MN的方程.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)由椭圆定
16、义可知,曲线E为除去与x轴的交点的椭圆,由定义即可求出方程;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),依题意可得即有x13x2,分直线MN斜率存在及不存在两种情况讨论,当斜率不存在时易知不符合条件,当斜率存在时,设出直线方程,与椭圆方程联立,由此建立等式,解出即可得到答案.【详解】(1)由题意知,|CA|+|CB|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|2|CP|+|AB|4|AB|,曲线E是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点),设曲线E:,则c1,2a4,即a2,b2a2c23,曲线E的方程为;(2)因为HAx轴,所以,设S(0,y0),解得y01,则S(0,1),因为a2c,
17、所以|SG|2|SH|,则,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,则x13x2,当直线MN斜率不存在时,MN的方程为x0,此时,不符合条件,舍去;当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为ykx+1,联立,得(3+4k2)x2+8kx80,将x13x2代入得,解得,直线MN的方程为或.【点睛】关键点点睛:本题主要考查定义法求轨迹,以及直线与椭圆的位置关系的应用,解题关键是由SSMG6SSHN通过合适的面积公式转化为,进而找到的横坐标关系,再通过直线与椭圆联立,由韦达定理建立等式解出9已知椭圆=1(ab0)的右焦点为F(2,0),且过点(2,)(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l:y=kx
18、(k0)与椭圆在第一象限的交点为M,过点F且斜率为-1的直线与l交于点N,若sinFON(O为坐标原点),求k的值【答案】(1);(2)或【分析】(1)根据题意列出有关a2、b2的方程组,求出这两个数的值,即可求出椭圆的标准方程;(2)设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标(x2,y2),利用已知条件sinFON,得出,然后将直线l的方程分别与椭圆方程和直线NF的方程联立,求出点M、N的坐标,结合条件可求出k的值【详解】(1)由题意可知,解得a216,b212(负值舍去),所以椭圆方程为;(2)设点M的坐标为,点N的坐标,由题可知,故,因为,而,所以,由,可得,所以,由,消去x,可得,易知直
19、线NF的方程为,由,消去x,可得,所以,整理得52k296k+270,解得或【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆方程的求解,考查直线与椭圆综合问题的求解,解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程,考查计算能力,属于中等题10如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的半焦距为c,且过点,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.(1)求椭圆E的方程;(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且,若直线OA,OB的斜率之积为,求证:.【答案】(1).(2)见解析【详解】试题分析:(1)利用点到直线距离公式得等量关系:,即a=2b.再利用
20、点在椭圆上的条件得,解得a=2,b=1,(2)设化简,得,代入椭圆方程得,再根据直线OA,OB的斜率之积为,得,即得.试题解析:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离为,得a=2b.又椭圆过点,则,联立得a=2,b=1,所以椭圆方程为.(2)证明:设因为,又,得,故,代入椭圆方程得:,整理得.因为A,B在椭圆E上,所以,又直线OA,OB的斜率之积为即.将两式代入(1)得.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类
21、似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.11已知椭圆C:上的点到右焦点F的最大距离为,离心率为求椭圆C的方程;如图,过点的动直线l交椭圆C于M,N两点,直线l的斜率为,A为椭圆上的一点,直线OA的斜率为,且,B是线段OA延长线上一点,且过原点O作以B为圆心,以为半径的圆B的切线,切点为令,求取值范围【答案】(1);(2)【分析】依题,结合离心率求得a与c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;由已知可得直线l的方程,与椭圆C:联立,化为关于x的一元二次方程,利用弦长公式求得弦,写出OA所在直线方程,与椭C:联立求得,得到,利用换
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