2019年秋七年级数学校本第一节《七桥问题》教案.pdf
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1、第一节七桥问题(一笔画问题)授课时间:教学目标:1、让学生了解一笔画问题的解决方法;2、通过学习,了解图论发展的起源及其应用之广泛;3、让学生体会数学对思考问题的作用,激发学生对数学的兴趣。教学重点难点:一笔画问题的解决过程、方法 教学过程:引入我想大家对“签名”这个词一定都不陌生,拿起笔,刷刷几下,一个突显个性的签名就产生了。现在请大家看这样一个图形,据说穆罕默德他不识字,于是就以这个图形作为他的签名。现在请你拿出笔试试看,你会模仿他的签名吗?模仿得像不像呢?我想穆罕默德看到了一定能辨出真假,因为他这个签名是一笔画成的,你用几笔画成,连接处可能会有空隙,而且这个感觉根一笔画出来的肯定是不一样
2、。穆罕默德应该是伊斯兰教的,跟中国的回族有点联系,所以看了这个进口的问题之后,使我很自然地联想到我们国产的一个游戏,请大家看这个图形,有点像“回”字,你能不能从某一点出发,不重复地一笔把它画出来?这就是中国民间古老的一笔画游戏,而这个图形实际上也是来源于生活。大家知不知道古代量米用的“斗”?上下都是四方的,底小口大,从上往下看就是这样的图形。我记得我小学时候就玩过这个游戏,但是试了很久也没有成功,大家动笔试试看。好像有点难度吧。这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。七桥问题 故事发生在十八世纪的东普鲁士,哥尼斯堡是一座风景秀丽的城市,普莱格尔河从这里流过,它有两条支流,一条称
3、新河,另一条叫旧河,两河在城中心汇合成一条主流,叫做大河。汇合处有两座小岛,河上有 7 座桥,岛上有古老的哥尼斯堡大学,有教堂,还有哲学家康德的墓地和塑像,因此城中的居民,尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地,爱动脑筋的人们提出了一个问题:一个散步者能否一次走遍 7 座桥,而且每座桥只通过一次,最后仍回到起始地点?请大家思考,你能做到吗?请你试一试,如果能,请给出画法,如果不能,请思考问题出在哪里?这个问题看起来似乎很简单,然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。因此,一群大学生就写信给著名的瑞士数学家欧拉,向他请教如何解决这个七桥问题。欧拉从千百人次的失败,以深邃的洞察力猜想,也许根本不可能
4、不重复地一次走遍这七座桥,并很快证明了这样的猜想是正确的。欧拉是怎样解决这个问题的呢?欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题,因为桥不涉及“大小”,也不能用“量化计算”来解决。相反地,这问题属于提出的“位置几何”。欧拉想到,小岛无非是桥梁的连接地点,两岸陆地也是如此,那么可以把这四处地点用 A,B,C,D 四个点来表示,同时将七座桥表示成连结其中两点的七条线,这样,他把具体七桥布局化归为图 2 所示的简单图形,于是,七桥问题就变成这样的一个问题:怎样才能从 A、B、C、D 中的某一点出发,一笔画出这个简单图形(即笔不离开纸,而且 a、b、c、d、e、f、g 各条线只画一次不准重复),并且最后返
5、回起点?欧拉经过研究得出的结论是:图 2 是不能一笔画出的图形。这就是说,七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢?请看下面的分析。欧拉注意到,如果一个图能一笔画成,那么一定有一个起点开始画,也有一个终点。图上其它的点是“过路点”画的时候要经过它。这些点有什么特征呢?我们先来看看“过路点”,它应该是“有进有出”的点,有一条边进这点,那么就要有一条边出这点,不可能是有进无出,如果有进无出,它就是终点,也不可能有出无进,如果有出无进,它就是起点。因此,在“过路点”进出的边总数应该是偶数。如果我们从某点出发,一笔画出了某个图形,到某一点终止,那么除起点和终点外,画笔每经过一个点一次,总有画进该点的一条
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