全等三角形证明方式.pdf
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1、全等三角形证明 一、三角形全等的判定:1、三组对应边别离相等的两个三角形全等(SSS)。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。二、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。全等三角形的周长、面积相等。全等三角形的对应边上的高对应相等。全等三角形的对应角的角平分线相等。全等三角形的对应边上的中线相等。三、找全等三角形的方式:(1)能够从结论动身,看要证明相等的两条线段(
2、或角)别离在哪两个可能全等的三角形中;(2)能够从已知条件动身,看已知条件能够确信哪两个三角形相等;(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确信哪两个三角形全等;(4)假设上述方式均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等的证明中包括两个要素:边和角。缺个角的条件:1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等 4、等腰三角形 5、同角或等角的补角(余角)6、等角加(减)等角 7、平行线 8、等于同一角的两个角相等 缺条边的条件:1、公共边 2、中点 3、等量和 4、等量差 5、角平分线性质 6、等腰三角形 7、等面积法 8、线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 9、两全等
3、三角形的对应边相等 10、等于同一线段的两线段相等 四、构造辅助线的经常使用方式:1、关于角平分线的辅助线 当题目的条件中显现角平分线时,要想到依照角平分线的性质构造辅助线。角平分线具有两条性质:角平分线具有对称性;角平分线上的点到角两边的距离相等。关于角平分线经常使用的辅助线方式:(1)截取构全等 如下左图所示,OC 是AOB 的角平分线,D 为 OC 上一点,F 为 OB 上一点,假设在 OA 上取一点 E,使得 OE=OF,并连接 DE,那么有OEDOFD,从而为咱们证明线段、角相等制造了条件。例:如上右图所示,AB/CD,BE 平分BCD,CE 平分BCD,点 E 在 AD 上,求证:
4、BC=AB+CD。提示:在 BC 上取一点 F 使得 BF=BA,连结 EF。(2)角分线上点向角两边作垂线构全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示,过AOB 的平分线 OC 上一点 D 向角两边 OA、OB 作垂线,垂足为 E、F,连接 DE、DF。那么有:DE=DF,OEDOFD。例:如上右图所示,已知 ABAD,BAC=FAC,CD=BC。求证:ADC+B=180 (3):作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示,从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF,使之与角的另一边 OA 相交,那么截得一个等腰三角形(OEF),垂足为底边上的
5、中点 D,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。若是题目中有垂直于角平分线的线段,那么延长该线段与角的另一边相交,从而取得一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。例 1:如上右图所示,已知BAD=DAC,ABAC,CDAD 于 D,H 是 BC 中点。求证:DH=12(AB-AC)提示:延长 CD 交 AB 于点 E,那么可得全等三角形。问题可证。例 2:已知,如图,在 RtABC 中,AB=AC,BAC=90o,1=2,CEBD 的延长线于 E,求证:BD=2CE 提示:延长 CE 交 BA 的延长线于点 F。(4)作平行线构造等腰三角形 作
6、平行线构造等腰三角形分为以下两种情形:如下左图所示,过角平分线 OC 上的一点 E 作角的一边 OA 的平行线 DE,从而构造等腰三角形 ODE。如下右图所示,通过角一边 OB 上的点 D 作角平分线 OC 的平行线 DH 与另外一边 AO的反向延长线相交于点 H,从而构造等腰三角形 ODH。2、由线段和差想到的辅助线(1)碰到求证一条线段等于另两条线段之和时,一样方式是截长补短法:截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部份等于另一条;补短:将一条短线段延长,延长部份等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。在ABC 中,AD 平分BAC,ACB2B,求
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