概率与统计(解答题)(20182022)高考真题汇编.pdf
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1、 1/33 概率与统计(解答题)大数据之五年(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)数学考试 注意事项:1、填写答题卡的内容用 2B 铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡 第卷 主观题 第卷的注释 阅卷人 一、解答题(共 31 题;共 350 分)得分 1(15 分)在某地区进行流行病调查,随机调查了 100 名某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据频率分布直方图 (1)(5 分)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)(5 分)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 20,70)的概率;(3)(5 分)已知该地区这种疾病的患病率为 0
2、.1%,该地区年龄位于区间 40,50)的人口占该地区总人口的 16%,从该地区任选一人,若此人年龄位于区间 40,50),求此人患该种疾病的概率(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率,精确到 0.0001)【答案】(1)解:平均年龄=(5 0.001+15 0.002+25 0.012+35 0.017+45 0.023+55 0.020+65 0.017+75 0.006+85 0.002)10=47.9(岁)(2)解:设 A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70),则 ()=1 ()=1 (0.001+0.002+0.006+0.002)10=1 0.11=0
3、.89 2/33(3)设 B=任选一人年龄位于区间 40,50),C=任选一人患这种族病,则由条件概率公式,得()=()()=0.1%0.0231016%=0.0010.230.16=0.0014375 0.0014【解析】【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出;(2)设 A=一人患这种疾病的年龄在区间 20,70),根据对立事件的概率公式()=1()即可解出;(3)根据条件概率公式即可求出 2(10 分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得 10 分,负方得 0分,没有平局三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目
4、中获胜的概率分别为 0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立(1)(5 分)求甲学校获得冠军的概率;(2)(5 分)用 X 表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与期望【答案】(1)解:设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为 P=()+()+()+()=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2 =0.16+0.16+0.24+0.04 =0.6.(2)解:依题可知,X 的可能取值为 0,10,20,30,所以,(=0)=0.5 0.4 0.8=0.16,(=10)=0.5 0.4 0.8+0.5 0
5、.6 0.8+0.5 0.4 0.2=0.44,(=20)=0.5 0.6 0.8+0.5 0.4 0.2+0.5 0.6 0.2=0.34,(=30)=0.5 0.6 0.2=0.06.即 X 的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望()=0 0.16+10 0.44+20 0.34+30 0.06=13【解析】【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A,B,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目,利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出;(2)依题可知,X 的可能取值为 0,10,20,30,再分别计算出对应的概率
6、,列出分布列,即可求出期望 3/33 3(10 分)甲、乙两城之间的长途客车均由 A 和 B 两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次,得到下面列联表:准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 附:2=()2(+)(+)(+)(+),(2)0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635(1)(5 分)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)(5 分)能否有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?【答案】(1)解:由表中数据可知,A 共有班次
7、 240+20=260 次,准点班次有 240 次,设 A 家公司长途客车准点事件为 M,则()=240260=1213;则 A 家公司长途客车准点的概率为 1213;B 共有班次 210+30=240 次,准点班次有 210 次,设 B 家公司长途客车准点事件为 N,则()=210240=78.B 家公司长途客车准点的概率为 78.(2)解:列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 2=()2(+)(+)(+)(+)=500(2403021020)226024045050 3.205 2.706,根据临界值表可知,
8、有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;4/33(2)根据表格中数据及公式计算 K2,再利用临界值表比较即可得结论.4(15 分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10 棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:2)和材积量(单位:3),得到如下数据:样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积
9、量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 210=1=0.038,210=1=1.6158,10=1=0.2474 附:相关系数 =()=1()()2=1()2=1,1.896 1.377 (1)(5 分)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)(5 分)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 0.01);(3)(5 分)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 1862 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给
10、出该林区这种树木的总材积量的估计值 【答案】(1)解:样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值=0.610=0.06 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值=3.910=0.39 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.062,平均一棵的材积量为 0.393(2)解:=()10=1()10=1()210=1()2=10=110(10=12102)(10=12102)=0.2474100.060.39(0.038100.062)(1.6158100.392)=0.01340.00018960.01340.01377 0.97 则 0.97(3)解:设该林区这种树木的总材积量
11、的估计值为 3,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,5/33 可得 0.060.39=186,解之得 =12093 则该林区这种树木的总材积量估计为 12093【解析】【分析】(1)计算出样本中 10 棵这种树木根部横截面积的平均值及 10 棵这种树木材积量平均值,即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)根据相关系数公式计算即可求得样本的相关系数值;(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值 5(10 分)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到 9.50m 以上(含9.50m)
12、的同学将获得优秀奖,为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16 假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(II)设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计 的数学期望 ;(III)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求
13、证明)【答案】(I)由题意得:设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件 A:比赛成绩达到 9.50m 以上获优秀奖,甲的比赛成绩达到 9.50 以上的有:9.80,9.70,9.55,9.54 四个,所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为()=0.4;(II)X 所有可能取值为 0,1,2,3 甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为()=0.4 乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件 B,则()=0.5 丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件 C,则()=0.5(=0)=0.6 0.5 0.5=0.15(=1)=0.4 0.5 0.5+0.6 0.5 0.5+0.6 0.5 0.5=0.4(=
14、2)=0.4 0.5 0.5+0.4 0.5 0.5+0.6 0.5 0.5=0.35(=3)=0.4 0.5 0.5=0.1 6/33 0 1 2 3 0.15 0.4 0.35 0.1()=0 0.15+1 0.4+2 0.35+3 0.1=1.4(III)甲的平均数:(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)0.1=9.479 乙的平均数:(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)6=9.457 丙的平均数:(9.85+9.65+9.20+9.16)0.25=9.465 甲的方差:2=(9.8 9.479)2
15、+(9.25 9.479)2 10=0.172 乙的方差:2=(9.78 9.457)2+(9.23 9.457)2 6=0.0329 丙的方差:2=(9.85 9.465)2+(9.16 9.465)2 4=0.086 在校运动会铅球比赛中,乙获得冠军的概率估计值最大.【解析】【分析】(1)根据古典概型概率公式计算即可;(2)由题意 X 的可能取值为 0,1,2,3,先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率,再分别求取 X 取值的相应概率,由此得分布列和数学期望;(3)根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.6(10 分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的
16、卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在己患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组),得到如下数据:不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 附:2=()2(+)(+)(+)(+)P(K2 k)0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828(1)(5 分)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)(5 分)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”,()()与()()的比值是卫
17、生习惯不够良好对患该 疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 R.7/33(i)证明:=()()()();(ii)利用该调查数据,给出(|),()的估计值,并利用(i)的结果给出 R 的估计值.【答案】(1)2=200(40901060)210010050150=24 6.625 所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)用局部估计总体 (i)=()()()()=()()()()=()()()()()()()()=()()()()=()()()()()()()()=()()()()(ii)()=()()=()()=40100,()=()()=()()=9010
18、0()=()()=()()=60100,()=()()=()()=10100 =40906010=6 故 R 的估计值为 6【解析】【分析】(1)代入数据,求得 K2,再对出表格,即可得结论;(2)()根据新定义,结合条件概率的计算公式,即可证明;()由条件概率的计算公式分别求得(),(),(),(),再代入 R,求解即可.7(15 分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第 0 代,经过一次繁殖后为第 1 代,再经过一次繁殖后为第 2 代,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数,(=)=(=0,1,2,3)
19、(1)(5 分)已知 0=0.4,1=0.3,2=0.2,3=0.1,求();(2)(5 分)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于 x 的方程:0+1+22+33=的一个最小正实根,求证:当()1 时,=1,当()1 时,1;(3)(5 分)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义【答案】(1)()=0 0.4+1 0.3+2 0.2+3 0.1=1.8/33(2)设()=33+22+(1 1)+0,因为 3+2+1+0=1,故()=33+22(2+0+3)+0,若()1,则 1+22+33 1,故 2+23 0.()=332+22 (2+0+3),因为(0)=(2+0
20、+3)0,(1)=2+23 0 0,故()有两个不同零点 1,2,且 1 0 0;(1,2)时,()(2)=(1)=0,故 1 为 0+1+22+33=的一个最小正实根,若 2 1,因为(1)=0 且在(0,2)上为减函数,故 1 为 0+1+22+33=的一个最小正实根,综上,若()1,则 =1.若()1,则 1+22+33 1,故 2+23 0.此时(0)=(2+0+3)0,故()有两个不同零点 3,4,且 3 0 4 0;(3,4)时,()0;故()在(,3),(4,+)上为增函数,在(3,4)上为减函数,而(1)=0,故(4)0,故()在(0,4)存在一个零点 ,且 1.所以 为 0+
21、1+22+33=的一个最小正实根,此时 1 时,211 时,()();若 211 时,()6.635 所以,有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.10(10 分)某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3
22、 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ,样本方差分别记为 s12和s22(1)(5 分)求 ,s12,s22;(2)(5 分)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 -212+222,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提 11/33 高).【答案】(1)解:各项所求值如下所示 =110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 =110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10
23、.5+10.4+10.5)=10.3 12=110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36,22=110 x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.(2)由(1)中数据得 -=0.3,2 12+2210 0.551 显然 -2 12+2210,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
24、【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数,,再直接用公式计算 s12,s22;(2)由(1)中的数据,计算得:-=0.3,2 12+2210 0.34,显然 -2 12+2210,可得到答案。11(10 分)某学校组织一带一路”知识竞赛,有 A,B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答,若回答错误则该同学比赛结束;若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分:B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分,否则得 0 分。已知小明能正确回答 A 类问题的概率
25、为 0.8,能正确回答 B 类问题的概率为 0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。(1)(5 分)若小明先回答 A 类问题,记 X 为小明的累计得分,求 X 的分布列:(2)(5 分)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。【答案】(1)的取值可能为 0,20,100,(=0)=1 0.8=0.2,(=20)=0.8 (1 0.6)=0.32,(=100)=0.8 0.6=0.48,的分布列为 X 0 20 100 12/33 P 0.2 0.32 0.48(2)假设先答 类题,得分为 ,则 可能为 0,80,100,(=0)=1 0.6=0.4,(=80)=0.
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